Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> for s from 1 to 8 do
 F := (k, t)->subs({x=k*Pi/(10*s), y=t*Pi/(10*s)}, dA):
 Alls := evalf((Pi/(10*s))^2*sum(sum(F(p, q), p=1..10*s),
 q=1..10*s)):
 print(A||s)
end do:

7.408455386

7.427471278

7.429353778

7.429810700

7.429973260

7.430045062

7.430081587

7.430102036

Поскольку эти суммы явно сходятся, то можно считать применение сумм Римана приемлемым и принять, что площадь данной поверхности приближенно равна:

> Area := 4*7.43;

Area:= 29.72

4.11.9. Вычисление поверхностных интегралов

Приведенный выше пример иллюстрирует трудности вычислений поверхностных интегралов. Разумеется, далеко не всегда Maple требует специальных подходов к вычислению подобных интегралов и многие из них благополучно вычисляются.

Для этого используется функция:

SurfaceInt(f, dom, inert)

где f — алгебраическое выражение, задающее интегрируемую зависимость, dom — спецификация поверхности в виде list(name)=surface и inert — имя, задаваемое как опция.

Примеры применения данной функции представлены ниже (файл surint):

> with(VectorCalculus):
> SurfaceInt(1, [x,y,z] = Surface(<r,s,t>, s=0..Pi/2, t=0..Pi, coords=spherical)) assuming r>0;

π r²

>SurfaceInt(x+y+z, [x,y,z] = Surface(<s,t,4-2*s-t>, [s,t] = Triangle (<0.0>,<1,0>,<1,1>)));

> SurfaceInt(2*y^2, [x,y,z] = Sphere(<0,0,0>, r));

Глава 5 Анализ функциональных зависимостей и обработка данных

Аналитические функции и степенные многочлены (полиномы) широко используются в математике и физике. В этой главе описана работа с функциями и полиномами, включающая в себя традиционный анализ функций, выявляющий их особенности и обеспечивающий различные преобразования функций, вычисление и преобразование полиномов в том числе ортогональных и техника приближения (аппроксимации) функций и табличных данных полиномами и сплайнами. Все эти вопросы имеют исключительно важное значение в практике научно-технических расчетов.

5.1. Анализ функциональных зависимостей

5.1.1. Понятие о функциональных зависимостях

Говорят, что y(x) есть функция, если известно правило, согласно которому каждому значению аргумента x соответствует некоторое значение у. Мы уже сталкивались с элементарными и специальными математическими функциями, которые имеют свои уникальные имена. Возможны и функции двух и более переменных, например функции Бесселя разного порядка.

Здесь мы под функциональной зависимостью будем понимать не только зависимости, заданные отдельными элементарными или специальными функциями, но и любые зависимости какой либо величины от ряда других величин — переменных. Такие выражения могут содержать ряд элементарных или специальных математических функций. Например, sin(x) и cos(x) это просто элементарные функции, а f(х) =2*sin(x)*cos(x) это уже функциональная зависимость f от х. Любое математическое выражение, содержащее переменные х, y, z, … можно рассматривать как функциональную зависимость f(x, y, z, …) от этих переменных.

Функциональная зависимость или функция f(х) даже от одной переменной может быть достаточно сложной, содержать корни (значения x при которых f(х)=0), полюса (значения х при которых f(х) →∞), максимумы и минимумы, разрывы, асимптотические значения, точки перегиба и т.д. Часто эти особенности видны на графике зависимости f(х), но анализ функциональной зависимости предполагает, что эти особенности могут быть точно идентифицированы и определены по математическому выражению, представляющему зависимость. Например, поиск корней сводится к решению уравнения f(х)=0 в заданном интервале, поиск экстремумов полагает нахождение значений x в точках экстремумов и значений f(х) в них и т.д.

К сожалению, пока нет средств, сразу выявляющих все особенности функциональных зависимостей, поскольку даже средства, решающие частные задачи анализа функций, довольно сложны и специфичны. Достаточно отметить проблему поиска экстремумов функций (особенно функций нескольких переменных). Поэтому функции приходится анализировать индивидуально.

5.1.2. Поиск экстремумов функций по нулям первой производной

С помощью функции fsolve системы Maple легко находятся значения независимой переменной x функций вида f(x), при которых f(х)=0 (корни этого уравнения). При этом данная функция позволяет (в отличие от функции solve) изолировать корни функции f(х) указанием примерного интервала их существования.

Для простых функций одной переменной f(х) поиск экстремумом часто сводят к нахождению точек, в которых первая производная f(х) обращается в нуль. Для этого можно использовать также функцию fsolve