5.1.10. Нахождение сингулярных точек функции
Многие операции, такие как интегрирование и дифференцирование, чувствительны к особенностям функций, в частности, к их разрывам и особым точкам. Напомним, что разрыв характеризуется двумя значениями y(x) в точке разрыва на оси абсцисс xр. Возможны разрывы с устремлением функции к бесконечности с той или иной стороны от точки хр. Функции могут иметь один разрыв или конечное число разрывов.
Функция singular(expr, vars) позволяет найти особые (сингулярные) точки выражения expr, в которых она испытывает разрывы. Дополнительно в числе параметров может указываться необязательный список переменных. Примеры применения этой функции приведены ниже (файл fanal):
> singular(ln(х)/(x^2-a));
> singular(tan(х));
> singular(1/sin(х));
> singular(Psi(х*y),{х,y});

> singular(x+y+1/x,{х,у});
5.1.11. Вычисление асимптотических и иных разложений
Важным достоинством системы Maple является наличие в ней ряда функций, позволяющих выполнять детальный анализ функций. К такому анализу относится вычисление
asympt(f,x)
asympt(f,х,n)
Здесь f — функция переменной х или алгебраическое выражение; х — имя переменной, по которой производится разложение; n — положительное целое число (порядок разложения, по умолчанию равный 6). Ниже представлены примеры применения этой функции (файл fanal):
> asympt(х/(1-х^2),х);

> asympt(n!,n,3);

> asympt(exp(x^2)*(1-exp(x)), x);

> asympt(sqrt(Pi/2)*BesselJ(0,x), x, 3);

5.1.12. Пример анализа сложной функции
Ниже мы рассмотрим типичный анализ достаточно «сложной» функции, имеющей в интересующем нас интервале изменения аргумента х от -4 до 4 нули, максимумы и минимумы. Определение функции f(x), ее графики и график производной

Рис. 5.3. Задание функции
Функция
Теперь перейдем к анализу функции
> fsolve(F(х),х,-2...-1);
> fsolve(F(x),х,-.01..0.01);
> fsolve(F(х),х,-.05..0);
> fsolve(F(x),х,1..2);
> fsolve(F(x),x,2.5..3);
Нетрудно заметить, что функция имеет два очень близких (но различных) корня при x близких к нулю.
Анализ функции на непрерывность, наличие ее нарушений и сингулярных точек реализуется следующим образом:
> iscont(F(x),x=-4..4);
> discont(F(x),x);
> singular(F(x));
Этот анализ не выявляет у заданной функции каких-либо особенностей. Однако это не является поводом для благодушия — попытка найти экстремумы
> extrema(F(x),{},х,'s');s;
> minimize(F(х),х=-.1...1);
> minimize(F(x),x=-2.5..-2);
Приходится признать, что в данном случае система Maple ведет себя далеко не самым лучшим способом. Чтобы довести анализ