Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

функции без особенностей максимумы и минимумы наблюдаются в точках, где производная меняет знак и проходит через нулевое значение. Таким образом, мы можем найти минимумы и максимумы по критерию равенства производной нулю. В данном случае это приводит к успеху:

> fsolve(diff(F(х),х)=0,х,-.5.. .5);

-.01274428224

> xm:=%;

xm:=-.0003165288799

> [F(xm),F(xm+.001),F(xm-.001)];

[-.00001562612637, .00003510718293, -.00006236451216]

> fsolve(diff(F(x),x)=0,x,-2.5..-2);

-2.271212360

> fsolve(diff(F(x),x)=0,x, 2..2.5);

2.175344371

Для случая поиска максимумов:

> maximize(F(х),х=-1..-.5);

maximize( .05 x + xe^(-x|) sin(2 x), x =-1..-.5)

> fsolve(diff(F(x), x), x,-1.. -.5);

-.8094838517

> fsolve(diff(F(x),x),x,.5..2);

.8602002115

> fsolve(diff(F(x),x),x, -4..-3);

-3.629879137

> fsolve(diff(F(x), x), x, 3..4);

Итак, все основные особые точки данной функции (нули, минимумы и максимумы) найдены, хотя и не без трудностей и не всегда с применением специально предназначенных для такого поиска функций.

5.1.13. Maplet-инструмент по анализу функциональных зависимостей

Для анализа функциональных зависимостей Maple 9.5 имеет специальный Maplet-Инструмент. Он вызывается командой Tools→Tutors→Calculus-Single Variable→Curve Analysis…. Она открывает окно инструмента, показанное на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Окно Maplet-инструмента анализа функциональных зависимостей

В верхней правой части окна имеются панели для ввода функциональной зависимости f (x) и границ а и b изменения аргумента х. Под ними имеется набор опций для задания того или иного параметра кривой, например ее максимумов Maximum, минимумов Minimum и др. После нажатия клавиши Calculate вычисляются координаты характерных точек или области определения тех или иных особенностей кривой.

График анализируемой кривой появляется в левой части окна. В нем строятся точки корней, перегибов и экстремумов зависимости. Цветом выделяются участки, на которых зависимость нарастает или падает. Кнопка Display порождает запись команды, которая строит полученный рисунок.

5.2. Работа с функциями из отдельных кусков

5.2.1. Создание функций из отдельных кусков

Для создания функций, составленных из отдельных кусков — кусочных функций, Maple 9.5 располагает интересной и по своему уникальной функцией:

piecewise(cond_1,f_1, cond_2,f_2, ..., cond_n,f_n, f_otherwise)

где f_i — выражение, cond_i — логическое выражение, f_otherwise — необязательное дополнительное выражение. В зависимости от того или иного условия эта функция позволяет формировать соответствующую аналитическую зависимость. К кусочным функциям (подчас в скрытой форме) приводят функции с элементами сравнения аргумента, например abs, signum, max и др. Поэтому в Maple 8 введен достаточно мощный аппарат обработки и преобразований таких функций по частям.

5.2.2. Простые примеры применения функции piecewise

Рис. 5.5 показывает задание функции f(х), содержащей три характерных участка. По определенной через функцию пользователя зависимости f(х) можно, как обычно, построить ее график.

Рис. 5.5. Пример задания и применения функции, составленной из отдельных кусков

Важно отметить, что созданная с помощью функции piecewise зависимость может участвовать в различных преобразованиях. Например, на рис. 5.3 показано, что она легко дифференцируется и интегрируется, так что можно построить графики производной этой функции и ее интегрального значения. При этом каждая часть функции обрабатывается отдельно.

5.2.3. Работа с функциями piecewise

С функциями типа piecewise можно работать как с обычными функциями. При этом необходимые операции и преобразования осуществляются для каждой из частей функции и возвращаются в наглядной форме.

Ниже приведен пример задания функции f в аналитической форме (файл piecewi):

> restart;
> f := max(х^2 - 2, x-1);

f := max(x²-2, x-1)

Для выявления характера функции воспользуемся функцией convert и создадим объект g в виде кусочной функции:

> g := convert(f, piecewise);

Выполним дифференцирование и интегрирование функции:

> fprime := diff(f, х);

> Int(g,х)=int(g,х);