Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

отрывается от верхушек полуволн входного сигнала. Устранить этот нежелательный для детектирования эффект можно уменьшением R или С.

На рис. 11.43 показан пример более корректного моделирования. В нем в параметрах функции dsolve введена опция stiff=true, указывающая на необходимость применения методов решения жестких дифференциальных уравнений. Кроме того, уменьшено значение С=2мкФ. Моделирование теперь идет корректно, но выходной сигнал на спаде моделирующего сигнала не очень четко отслеживает последний. Это указывает, что постоянная времени RC все еще велика.

Рис. 11.43. Моделирование детектора амплитудно-модулированного сигнала (пример 2)

Рассмотрим еще один пример, представленный на рис. 11.44. Здесь значение емкости С конденсатора на выходе детектора уменьшено до 1 мкФ. Кроме того, в функции dsolve явно указан метод Розенброка — один из лучших методов решения жестких дифференциальных уравнений. Кроме того, во избежание числовой неустойчивости, возможной даже при этом методе, решение задается с заданной абсолютной и относительной погрешностью 10^-4. Уменьшение погрешности лучше устраняет числовую неустойчивость, но ведет к увеличению времени моделирования.

Рис. 11.44. Моделирование детектора амплитудно-модулированного сигнала (пример 3)

На этот раз как само моделирование, так и «работа» детектора происходят безупречно в соответствии с принципом действия этого устройства. Этот не означает, что так и будет при любых параметрах устройства. Читатель может убедиться в этом сам. А все сказанное говорит о том, что даже при моделировании такого простого устройства возможности Maple не безупречны. Без четкого понимания физики работы моделируемого устройства можно получить не только неточные данные, но и порой данные, противоречащие физике работы устройств.

11.4. Моделирование систем с заданными граничными условиями

11.4.1. Распределение температуры стержня с запрессованными концами

В некоторых случаях необходим учет заданных, чаще всего постоянных, граничных условий. Типичным примером этого является расчет временной и координатной зависимости температуры нагретого стержня, запрессованного концами в области с постоянной температурой. Это соответствует решению одной из типовых задач термодинамики.

Рисунок 11.45 показывает начало документа Maple 9 решающего данную задачу. На нем дана математическая формулировка задачи, задание и решение дифференциального уравнения в частных производных с нулевыми граничными условиями. Температура вдоль стержня при t=0 задана выражением g(x).

Рис. 11.45. Начало документа, вычисляющего распределение температуры вдоль стержня с нулевой температурой на концах

Рис. 11.46 показывает результаты моделирования для задачи, представленной на рис. 11.45. Верхний рисунок анимационный и представляет начальный кадр — распределение температуры вдоль оси х при t=0. Если пустить анимацию можно наблюдать в динамике процесс остывания стержня. Наглядное представление этого процесса в виде трехмерного графика показано ниже. Он представляет собой сплошной набор линий u(х, t) в различные моменты времени t. Нетрудно заметить, что отклонение температуры от 0 падает по мере роста t.

Рис. 11.46. Представление зависимости температуры u(х) в разные моменты времени — сверху в виде анимационного рисунка, снизу в виде трехмерного графика

Рис. 11.47 показывает задание процедуры для вычисления значения температуры в численном виде для заданных x и t, а также дает еще один пример вычисления зависимости u(х,t) и построения анимационного графика этой зависимости. На графике рис. 11.47 представлен конечный кадр анимации.

Рис. 11.47. Конец документа, представленного рис. 11.45 и 11.46

11.4.2. Моделирование колебаний струны, зажатой на концах

Еще один классический пример решения дифференциального уравнения с заданными граничными условиями это моделирование колебаний струны, зажатой на концах. Рис. 11.48 демонстрирует начало документа, выполняющего такое моделирование (файл coord). На нем представлена формулировка задачи, задание дифференциального уравнения и граничных условий для его решения.

Рис. 11.48. Начало документа моделирования колебаний струны

На рис. 11.49 показан первый случай моделирования — струна оттянута в середине, так что распределение ее отклонения от расстояния х имеет характер вначале нарастающей линейно, а затем линейно уменьшающейся зависимости. Анимационные кадр второй по счету показывает, что после отпускания струны в центре появляется плоский участок, который расширяется и перемещается вниз. Формируется один период колебаний (положительный и отрицательный полупериоды).

Рис. 11.49. Моделирование колебаний струны, оттянутой вверх посередине, после ее отпускания

Рисунок 11.50 показывает второй пример моделирований. На этот раз струна деформирована по синусоидальному закону, так что на ней укладывается три периода синусоиды. С момента начала моделирования можно наблюдать ее колебания, в ходе которых амплитуда синусоиды периодически то уменьшается, то увеличивается — режим стоячих волн. На рисунке представлен конечный кадр анимации.

Рис. 11.50. Моделирование колебаний струны по синусоидальному закону

Эту модель можно использовать и для моделирования колебания двух струн с более сложным характером начальной деформации. Такой случай представлен на рис. 11.51. Здесь представлен промежуточный кадр анимации.

Рис. 11.51. Пример моделирования колебаний двух струн