Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

При этом подразумевается, что функция f(x) определена на некотором промежутке, включающем точку х=а и во всех точках, близких к ней слева и справа. В последнем случае предел вычисляется для х=а-h или x=a+h при h стремящемся к нулю. Пределом может быть число, математическое выражение и положительная или отрицательная бесконечность. Последнее соответствует расширенному представлению о пределах.

4.5.2. Функции вычисления пределов в Maple 9.5

Для вычисления пределов функции f в точке х=а используются следующие функции:

limit(f,x=a);
limit(f,x=a,dir);
Limit(f,x=a);
Limit(f,x=a,dir);

Здесь f — алгебраическое выражение, z — имя переменной, dir — параметр, указывающий на направление поиска предела (left — слева, right — справа, real — в области вещественных значений, complex — в области комплексных значений). Значением а может быть бесконечность (как положительная, так и отрицательная).

Примеры применения этих функций для вычисления пределов в точке приведены ниже (файл limit):

> restart: Limit(f(х),х=а);

> Limit(1-ехр(-х), x=infinity)=limit(1-exp(-x), x=infinity);

> Limit(exp(x),x=infinity) = limit(exp(x),x=infinity);

> Limit(exp(-x),x=infinity)=limit(exp(-x),x=infinity);

> Limit((x-sin(x))/x^3, x=0)=limit((x-sin(x))/х^3,х=0);

> Limit((Pi-2*x)*tan(x),x=Pi/2)=limit(tan(x)*(Pi-2*x), x=Pi/2);

Обратите внимание на то, что в первом примере фактически дано обозначение предела в самом общем виде. Приведем еще пример вычисления предела функции в виде дроби, имеющей неопределенность 0/0:

> Limit((x-sin(х)) / (exp(2*х)-1-2*х-2*х^2),x=0) = limit((х-sin(x))/(exp(2*х)-1-2*х- 2*х^2),х=0);

Как видно из этого примера, Maple «понимает» особенности функций при вычислении пределов.

4.5.3. Вычисление пяти замечательных пределов

Проверим возможности Maple при вычислении пяти замечательных пределов (файл limit5 — второй предел дан в двух вариантах):

> Limit(sin(х)/х,х=0)=limit(sin(х)/х,х=0);

> Limit((1+х)^(1/х),х=0)=limit((1+х)^(1/х),х=0);

> Limit((1+1/х)^х,x=infinity)=limit((1+1/х)^х,x=infinity);

> Limit(ln(1+x)/х,x=0)=limit(ln(1+х)/x,x=0);

> Limit((exp(х)-1)/х,х=0)=limit((exp(х)-1)/х,х=0);

> Limit(((1+х)^а-1)/х,х=0)=limit(((1+х)^а-1)/х,х=0);

Все пять замечательных пределов вычислены верно.

4.5.4. Графическая иллюстрация вычисления пределов с двух сторон

Рисунок 4.13 показывает вычисление пределов функции tan(x) в точке x=π/2, а также слева и справа от нее. Для указания направления используются опции right (справа) и left (слева). Видно, что в самой точке предел не определен (значение undefined), а пределы справа и слева уходят в бесконечность.

Рис. 4.13 Пример вычисления пределов функции tan(x) и построение ее графика

Показанный на рис. 4.13 график функции tan(x) наглядно подтверждает существование пределов справа и слева от точки x=π/2 и отсутствие его в самой этой точке, где функция испытывает разрыв от значения +∞ до -∞.

4.5.5. Maplet-инструмент для иллюстрации методов вычисления пределов

Для демонстрации методов пошагового вычисления пределов имеется Maplet-инструмент Step-by- step Limit Tutor. Для вызова его окна (рис. 4.14) нужно исполнить команду (в стандартном варианте интерфейса): Tools→Tutors→Calculus-Single Variables→Limit….

Рис. 4.14. Окно Maplet-демонстрации методов пошагового вычисления пределов

Нетрудно заметить, что это окно практически аналогично окну для демонстрации методов пошагового дифференцирования, описанному в разделе 4.3.4 (рис. 4.2). В связи с этим подробное описание средств и этого инструмента можно опустить. Отметим лишь, что он позволяет задавать функцию и значение x и по шагам (автоматически или вручную) вычислять пределы. По окончании работы с окном соответствующий предел и результат его вычисления появляется в окне документа — рис. 4.15.

Рис. 4.15. Пример вывода результата работы с Maplet-инструментом по методам вычисления пределов