Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

4.6. Разложение функций в ряды

4.6.1 Определение рядов Тейлора и Маклорена

Огромное разнообразие функций давно заставляло математиков задумываться над возможностями их приближенного, но единообразного представления. К таким представлениям относятся различные ряды, сходящиеся к значениям функций в окрестности заданной точки.

Очень часто желательно представление тех или иных функций f(х) в достаточно простом и единообразном виде. Эта задача решается методами аппроксимации, которые мы рассмотрим позже. Пока же зададимся более простой задачей — представления функций в виде степенного многочлена F(x) в окрестности заданной на оси абсцисс точки х=х0. Такое разложение было впервые получено Тейлором и получило название ряда Тейлора [68, 69]:

Если разложение выполняется относительно точки х=0, его принято называть рядом Маклорена:

4.6.2. Разложение в степенной ряд

Для разложения функции или выражения expr в обычный степенной ряд в системе Maple служат функции:

series(expr, eqn)

и

series(expr, eqn, n)

Здесь expr — разлагаемое выражение, eqn — условие (например, в виде х=а) или имя переменной (например, х) и n — необязательное и неотрицательное целое число, задающее число членов ряда (при его отсутствии оно по умолчанию берется равным 6, но может переустанавливаться системной переменной Order). Если в качестве eqn задано имя переменной, то это соответствует разложению по этой переменной в области точки с ее нулевым значением. Задав eqn в виде x=x0 можно получить разложение по переменной х в окрестности точки x=х₀.

Разложение получается в форме степенного многочлена, коэффициенты которого задаются рациональными числами. Остаточная погрешность задается членом вида O(х)^n. При точном разложении этот член отсутствует. В общем случае для его удаления можно использовать функцию convert. Ниже представлены примеры разложения различных выражений в ряд (файл series):

> series(sinh(х), х=0);

> series(sinh(х),х=1,3);

> series(sinh(х),х=1.0,3);

1.175201193 + 1.543080635(х-1.0) + .5876005967(х-1.0)² + O((х-1.0)³)

> series(2*х^2-х+1,х=1,10);

2 +3(x - 1) +2(х - 1)²

> f(х):=sin(х)/х;

> series(f(х),х=0,10);

> convert(%,polynom);

> s:=series(ln(х),х=2, 4);

> evalf(convert(s,polynom));

-.3068528194 + .5000000000x - .1250000000(x-2.)² + .04166666667(x-2.)³

Здесь видно, что член, обозначающий погрешность, отсутствует в тех разложениях, которые точны — например, в разложениях степенных многочленов.

4.6.3. Разложение в ряды Тейлора и Маклорена

Для разложения в ряд Тейлора используется функция taylor(expr, eq/nm, n). Здесь expr — разлагаемое в ряд выражение, eq/nm — равенство (в виде х=а) или имя переменной (например, х), n — необязательный параметр, указывающий на порядок разложения и представленный целым положительным числом (при отсутствии указания порядка он по умолчанию принимается равным 6). При задании eq/nm в виде x=a разложение производится относительно точки x=a. При указании eq/nm в виде просто имени переменной разложение ищется в окрестности нулевой точки, то есть фактически вычисляется ряд Маклорена.

Ниже представлены примеры применения функции taylor (файл taylor):

> taylor(1-ехр(х), х=1, 4);

> convert(%,polynom);

> taylor(sinh(x), x, 10);

> taylor(int(sin(x)/x,x),x);

> taylor(erf(х),х);

Не все выражения (функции) имеют разложение в ряд Тейлора. Ниже дан пример такого рода:

> taylor(1/х+х^2,х,5);
Error, does not have a taylor expansion, try series()
> series(1/х+х^2,x,10);

x^-1 + x²

> taylor(1/х+х^2,x=1,5);

2 + x-1 + 2(x-1)² - (x-1)³ + (x-1)⁴ +O((x-1) ⁵)

Здесь Maple 9.5 отказался от вычисления ряда Тейлора в окрестности точки х=0 (по умолчанию) и предложил воспользоваться функцией series. Однако эта функция просто повторяет исходное разложение. В то же время в окрестности точки х=1 ряд Тейлора вычисляется.

Для разложения в ряд Тейлора функций нескольких переменных используется библиотечная функция mtaylor:

mtaylor(f, v)