Как мы вскоре увидим, с тех пор, как математики начали, в своей характерной глубокомысленной манере, размышлять о натуральных числах, стало очевидно, что удивительным является даже то, что мы вообще можем считать. Ведь этих чисел так мало (всего лишь бесконечность), и они столь редки, что с некоторой точки зрения удивительно, как древним людям удалось наткнуться на них в первый раз. Мы уже можем начать понимать некоторые из проблем, беспокоящих математиков даже на этой ранней стадии обсуждения. Например, действительно ли количественные числа продолжаются до бесконечности, или более верным, чем вечно марширующие без всякого пункта назначения числа, представлением является так называемая
Если мы вернемся к начальным временам счета, когда бы они ни были, мы обнаружим глубокий резонанс с тем, что принимается в качестве счета сегодня (тема, которую мы исследуем позже). Счету в большой мере помогают счетные приспособления, такие как насечки на палочках, бусины четок, сотня бусинок мусульманских
Человеческая рука, однако, гораздо более удобный инструмент счета, особенно когда человек полностью одет. Более того, рука обладает гибкостью и способна демонстрировать как количественные, так и порядковые числа: количественные числа показывают, выставляя соответствующее число пальцев одновременно, а порядковые числа демонстрируют, последовательно разгибая пальцы. Таким образом, счет «с основанием 10», как называют нашу общепринятую систему, является естественным следствием анатомии человека.
Хотя фундамент счета постепенно установился на основании 10, используемом сегодня почти всюду, были и остаются некоторые, отклонения. В языке апи, на котором говорят жители Новых Гебрид, счет ведется по основанию 5, и следы того же основания можно отыскать в некоторых языках Африки. Отголоски счета по основанию 12 обнаруживаются в употреблении нами дюжины. Вавилоняне предпочитали основание 60 по причинам, которые все еще остаются темными, и их выбор удержался в нашем способе деления времени и круга, с малыми «минутами» и вторичным (second) делением этих минут на секунды. Существует предположение, что шумеры Вавилона остановились на 60 (но без символа 0) в результате слияния двух культур, одна из которых использовала основание 10 (с простыми делителями 2 и 5), а другая основание 12 (с простыми делителями 2 и 3), с наименьшим общим произведением делителей (2×5) × (2×3) = 60. Основание 60 так никогда и не привилось в повседневном счете, поскольку требовалось выучить очень большое число обозначений для 60 различных чисел, необходимое для схемы (0, 1, …, 8, 9, ♦,
Однако счет на пальцах неудобен для ведения записей, и когда появились древние первовычислители и начали заниматься своим ремеслом, постоянное освоение различных сред физического мира медленно проявлялось в виде приспособлений для счета и записей сделок. Шумеры использовали довольно утонченную форму клинописных обозначений чисел, аттические греки ввели буквенные обозначения, с символами, подобными Δ (δεκα, дека) для 10 и M для 10 000 (μυριοι, муриои). До сих пор еще живы в качестве цифр повседневного пользования римские цифры. В дополнение к очевидным I, II, …, которые мы теперь записываем как 1, 2, …, немецкий историк Теодор Моммзен (1817-1903) умозаключил, что V (=5) представляет растопыренную ладонь, X (=10) — это сочетание двух ладоней, M (=1000) есть распад на части символа Φ, принявший вид (|), a D (=500) это буквально половина этого символа.
Знакомые нам «арабские» цифры, видимо, возникли в Индии в период времени до девятого века, возможно, как способ представления абака. Западные ученые назвали их «арабскими» потому, что в то время арабская наука преобладала, и пишущие обращались к ее авторитету. Происхождение форм начертания большинства цифр остается темным, но для 1 оно очевидно, 2 является, возможно, комбинацией двух горизонтальных штрихов, а 3 — трех. Человеческие существа, по-видимому, не способны определять на глаз число предметов, если оно более четырех, и, следовательно, цифры от 4 до 9, видимо, должны были возникнуть как сокращенные формы обозначения соответствующих наборов штрихов.
Эволюция наших современных символов может быть прослежена до их написания в Брахми, очень древней форме индийского письма обнаруженной в надписях Ашоки, третьего царя династии Маурья из Магадхи, который правил Индией от 273 до 235 г. до н.э. (рис. 10.1); само это письмо, по-видимому, произошло от западной семитской традиции как разновидность арамейского. Эти цифры предложил невосприимчивой Европе в конце десятого столетия монах Герберт Ауриллак (около 945-1003), ставший папой Сильвестром II в году, который обозначался многообещающей цифрой 1000, но, к разочарованию многих, так и не стал годом апокалипсиса. Мягкий напор нововведения не преодолел сопротивления консервативных церковников, которые предпочли прилепиться к классической римской традиции, несмотря на почти полную невозможность пользоваться ею в арифметике. Самое первое появление новых цифр зарегистрировано в
Рис. 10.1. Так называемые арабские цифры произошли от индийских символов, которые можно проследить до письма Брахми и далее, до более глубоких корней в семитской традиции. Верхняя строка показывает четыре цифры третьего века до н.э. из эдикта Ашоки, писанного на Брахми. Вторая строка показывает цифры третьего века н.э. из источника, найденного в штате Уттар Прадеш.
Ноль (zero, от арабского
Неприятности (то есть математика) начались, когда числа стали различными способами комбинировать. Когда мы начинаем манипулировать натуральными числами, используя такие операции, как вычитание и деление, когда изобретательный интеллект обременяет себя ношей практического опыта, мы порождаем числа, имеющие мало общего с количественными числами. Сперва мы рассмотрим символы для этих операций, а затем увидим, как, применяя их к натуральным числам, мы порождаем новые типы
