чисел; их сводка представлена на рис. 10.2, и, вероятно, будет полезно держать эту иллюстрацию в уме, читая последующий текст. В начальные для математики времена уравнения были «риторическими», в том смысле, что они сжато выражались словами. Гораздо большая ясность, а с большей ясностью и большие возможности для манипуляций, возникла после введения символов, определяющих операции.
Рис. 10.2. Здесь представлена сводка основных типов чисел, с которыми мы встречаемся в этой главе. Натуральные числа являются числами счета; их расширение на отрицательные значения порождает целые числа. Между целыми числами расположены рациональные числа, то есть числа, получаемые делением одного целого числа на другое. Гораздо большую плотность имеют иррациональные числа, которые нельзя получить таким способом. Действительные числа, состоящие из целых чисел, рациональных чисел и иррациональных чисел, соответствуют точкам, образующим прямую линию, уходящую в бесконечность в обоих направлениях. Алгебраические числа являются числами, которые можно получить в виде решений алгебраических уравнений, а трансцендентные числа являются числами, которые нельзя получить таким способом. Некоторые алгебраические числа рациональны, другие иррациональны; все трансцендентные числа иррациональны.
Знак сложения, «+», возможно, произведен от курсивного написания et и впервые появился в немецком манускрипте пятнадцатого века, а знак «−» для вычитания мог просто указывать на отделение. Знак умножения, «×», возможно, произошел от символа, использовавшегося для вычисления пропорций, которое включает перекрестные перемножения, и впервые появился в труде Clavis mathematicae, опубликованном в 1631 г. Уильямом Отредом (1574-1660), изобретателем раннего варианта логарифмической линейки. Немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 -1716) счел, что знак × слишком легко спутать с x, и в 1698 г. предложил использовать вместо него простую точку, так чтобы a.b обозначало умножение a на b. Он также предпочел для деления знак «:», но сначала в шведском тексте 1659 г. для деления был использован символ «÷», ранее обозначавший вычитание.
Знак равенства, «=», образованный двумя горизонтальными линиями, был введен в The whetstone of witte (Оселок для ума) (1557) английским математиком Робертом Рэкодом (около 1510-58), который познакомил Англию с алгеброй, придумал популярные названия для учебников (включая The whetstone (Оселок), The grounde of artes (Основа искусств), для введения в арифметику, и The castle of knowledge (Твердыня знания) для учебника астрономии), но тем не менее умер в долговой тюрьме. Рэкод писал:
И чтобы избежать утомительных повторений этих слов «является равным», я буду рисовать, как часто уже делал это для облегчения работы, две параллельные линии одинаковой длины, так как нет двух вещей, которые были бы равны в большей мере.
Знакомый теперь знак Рэкода «=» вел долгие войны с «||» и различными обозначениями, основанными на ae, сокращении от aequalis, прежде чем наконец одержать триумфальную победу.
Сложение и умножение натуральных чисел порождают просто другие натуральные числа. Например, 2 + 5 = 7 есть натуральное число, а 2 × 5 = 10 еще одно натуральное число. Однако вычитание порождает новый класс чисел. Так, если мы вычтем 3 из 2, мы получим −1, что расширяет поле нашего дискурса от натуральных чисел до целых: …, −2, −1, 0, 1, 2, …. Отрицательные числа в момент их появления должны были очень озадачивать, поскольку людям, привыкшим лишь к пересчитыванию, было трудно понять, что такое «меньше, чем ничего».[48]
Хотя умножение натуральных чисел дает только натуральные числа, понятие умножения приводит к определению подкласса натуральных чисел, называемых простыми числами, то есть чисел, не являющихся произведением других натуральных чисел (кроме единицы и себя самого). Так, несколькими первыми простыми числами натурального ряда являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …. Такое число, как 15, не является простым, так как может быть записано в виде 3 × 5; с другой стороны, 17 является простым числом, потому что его нельзя записать в виде произведения других натуральных чисел. Простые числа находились и продолжают находиться в центре повышенного внимания тех, кто заворожен числами, поскольку они, видимо, ведут себя во многом подобно фундаментальным «атомам» натуральных чисел: с точки зрения операции умножения они являются числами, из которых можно построить все остальные числа. Этот фундаментальный характер является сутью содержания фундаментальной теоремы арифметики Евклида, которая утверждает, что каждое представление натурального числа произведением простых чисел является единственным. Например, такое число, как 9 365 811, может быть выражено в виде произведения простых чисел только одним способом (в данном случае, как 3 × 72 × 133 × 29). Эта фундаментальная теорема является основой современных процедур кодирования, в которых используются произведения двух больших простых чисел, так что изучение простых чисел не является просто делом бесстрастной математики, а играет центральную роль в обеспечении безопасности коммерческих операций и приватности связей между отдельными людьми и армиями.
Многие свойства простых чисел уже известны, но некоторые предположения еще не доказаны (а, возможно, и неверны). Одним из точно установленных фактов, известным еще Евклиду, является то, что количество простых чисел неограниченно; простые числа продолжаются без конца. На сегодняшний день самым большим известным простым числом является 213466917 − 1. Это число является примером простых чисел Мерсенна, простых чисел, имеющих форму 2p − 1, где p само есть простое число. Оно было обнаружено 14 ноября 2001 г. и потребовало бы для полной записи 4 миллиона цифр (более точно, 4 053 946), что соответствует примерно восьми книгам, размером с эту. Огромные простые числа, имеющие более чем тысячу знаков, называются «титаническими». Простые числа встречаются все реже и реже по мере их возрастания, но между любым заданным натуральным числом и его удвоением всегда найдется по крайней мере одно простое число. Например, вы можете быть уверены, что существует по крайней мере одно простое число между 1 миллиардом и 2 миллиардами; на самом деле, их миллионы. Некоторые простые числа группируются. Например, существует много «близнецов», то есть простых чисел, разность между которыми равна 2; например, 11 и 13 являются близнецами. Гипотеза о близнецах (только гипотеза) состоит в том, что существует бесконечное число близнецов, и поэтому близнецы, как и сами простые числа, продолжают встречаться без конца. Известными к настоящему времени самыми большими близнецами являются 33 218 925 × 2169690 − 1 и 33 218 925 × 2169690 + 1 (эта пара обнаружена в 2002 г., и каждое из чисел записывается 51 090 цифрами).
Есть множество других весьма причудливых свойств простых чисел. Например, обладавший необычайным воображением польско-американский математик Станислав Улам (1909-84) обнаружил, что, если вы запишете все натуральные числа по спирали, так что 1 окажется в центре, 2 справа, 3 над 2, 4 над 1, 5 слева от 4 и так далее, и пометите все простые числа, то они будут иметь тенденцию попадать на диагональные линии (рис. 10.3). Улам использовал свое воображение и другими способами: вместе с Эдвардом Теллером он открыл, как инициировать взрыв водородной бомбы.
Рис. 10.3. Спираль Улама. Если записать все натуральные числа по спирали, как показано на вставке, и пометить простые числа, то они проявят тенденцию располагаться на диагональных прямых, как можно видеть, рассматривая черную зону с простыми числами, изображенными, подобно звездам, белыми точками. Мы нарисовали некоторые из диагоналей, чтобы показать их положение; вы могли бы различить и другие.
