Занимательная математика

сверху домино.

Итак, сдвиг на половину длины домино у нас уже есть. Выясним теперь, где находится центр тяжести двух верхних домино. Если мы попытаемся водрузить два верхних домино поверх третьего, то обнаружим, что общий центр тяжести находится на расстоянии, равном 1/4 длины домино, от покрытого сверху конца среднего домино. Поэтому два верхних домино мы можем водрузить поверх третьего сверху домино с дополнительным сдвигом, равным 1/4 длины домино.

Вычислив центр тяжести трех верхних домино, мы обнаружим, что он находится на расстоянии, равном 1/6 от покрытого двумя верхними домино конца третьего домино. Продолжая этот процесс, мы обнаружим, что полный сдвиг оказывается равным

и т. д. до бесконечности.

— Вce ли здесь корректно математически? — спросил один из завсегдатаев клуба у того члена клуба, который сформулировал задачу и, как оказалось, был математиком.

— Все корректно, — заверил математик других членов клуба.

Написанную Николасом формулу можно представить в виде

Сумма в квадратных скобках известна под названием гармонического ряда. Он расходится; под этим я имею в виду, что, суммируя ряд, мы можем превзойти любое наперед заданное число. Проще всего убедиться в этом, объединив члены ряда в группы, сумма членов в каждой из которых больше 1/2. Действительно, разобьем члены ряда па группы следующим образом:

Нетрудно видеть, что сумма членов в каждой группе больше 1/2, т. е. 1/3 + 1/4 больше, чем

больше, чем

и т. д.

Вы видите, джентльмены, что, задав длину «козырька», т. е. величину сдвига, вы можете без особого труда вычислить из скольких домино вам придется возвести столб, если воспользуетесь формулой, предложенной юным Николасом. Я вел свои расчеты сверху вниз, но строить столб из домино вам, разумеется, придется как обычно, снизу вверх.

Разноцветные нити

Задачи о покрытии шахматной доски домино и о сооружении «козырька» из домино настолько захватили членов «Клуба любителей шахмат и шашек», что они стали посматривать друг на друга, не найдется ли у кого-нибудь еще интересной задачки. Молчание решился прервать юный Николас.

— У меня есть еще одна задача, которая, возможно, заинтересует вас, джентльмены, — произнес он.

— Выкладывай свою задачку, тебе слово, — предложили члены клуба. На этот раз они явно поверили в способности юного Николаса.

— Предположим, что в каждую из четырех стен этой комнаты вбито по одному гвоздю и что, кроме того, по одному гвоздю вбито в ее пол и потолок. Между этими гвоздями требуется натянуть нити. От каждого гвоздя ко всем другим должно быть протянуто по нити. Нити имеются двух цветов — красные и синие. Каждая нить, натянутая между любыми двумя гвоздями, либо красная, либо синяя.

Нити образуют много треугольников, т. е. любые три гвоздя можно рассматривать как вершины некоторого треугольника, а нити, натянутые между этими тремя гвоздями, — как стороны треугольника.

Задача заключается в том, чтобы выяснить, можно ли выбрать цвета нитей так, чтобы ни у одного треугольника все три стороны не были одного цвета.

— Очень трудная задача, — задумчиво произнес математик. — Необходимо произвести комбинаторные расчеты, вычислить перестановки, сочетания и т. п. Не думаю, чтобы ты основательно разбирался во всей этой алгебре, Ник.

— А я и не разбираюсь, сэр, — почтительно ответил юный Ник, — но тем не менее могу решить эту задачу.

— Может быть, — согласился математик. — Тогда расскажи нам, как она решается.

— На самом деле задача решается очень просто, — ответил юный Николас. Необходимо только знать, с чего начать.

Прежде всего скажу вам ответ задачи: всегда найдется по крайней мере один треугольник, все стороны которого одного цвета. Попробую доказать, почему это так.

Рассмотрим любой гвоздь. От него к другим гвоздям должны быть протянуты пять нитей. Какие бы цвета вы ни выбрали, по крайней мере три из них должны быть одного цвета, так как нити могут быть только двух цветов — либо синие, либо красные. Для конкретности предположим, что три нити красные.

Рассмотрим теперь те три гвоздя, которые образуют вершины треугольника, между которыми протянуты эти нити.

Если мы хотим, чтобы три стороны любого треугольника не были одного цвета, то нити, натянутые между этими тремя гвоздями, не должны быть одного цвета. Попросту говоря, все стороны треугольника, к вершинам которого протянуты три красные нити, не могут быть синими. По крайней мере одна из сторон должна быть красной.

Но тогда она замыкает треугольник, все стороны которого красные, а одна из вершин совпадает с исходным гвоздем.

6. Яхт-клуб

Под парусом в безветренную погоду

Однажды летом в жаркий безветренный полдень на веранде яхт-клуба собралось несколько яхтсменов. Они потягивали джин с тоником и лениво переговаривались между собой.

— Без ветра под парусом особенно не походишь, — философски заметил один из них.

Не скажи! Иногда и в безветрие можно исхитриться, — возразил другой яхтсмен. Как сейчас помню, однажды я прошел под парусом в полный штиль довольно приличную дистанцию.

Штиль действительно был полным? Ни малейшего дуновения ветерка?

— Именно так!

— А как же ты управлялся с парусом?

— Как обычно.

— Может быть, ты дул себе в парус? Что ты делал?

— Ничего особенного. Я же говорю, что шел под парусом, как обычно. Чтобы было понятнее, я скажу