вверх решкой, так как я выигрываю при выпадении комбинаций «орел-решка» и «решка-орел».
Таким образом, перед каждым из нас возникает проблема: как лучше всего построить схему замены своих монет фальшивыми, если известно, что партнер вырабатывает для себя аналогичную схему.
— Что и говорить, звучит заманчиво, — вынужден был признать Сэм. Так как в среднем я мог бы каждый раз выиграть среднее между девятью центами и одним центом, а ты среднее между пятью и пятью центами, т. е. столько же, сколько и я, мы имеем равные шансы на выигрыш, и я считаю игру честной. Я готов сыграть с тобой и уверен, что сумею заменить свои монеты фальшивыми так, чтобы перехитрить тебя и научить хотя бы немного уважать старших.
Сэм-младший покачал головой.
— Не сердись, но я не возьму твоих денег. Дело в том, что игра, которую я тебе предлагаю, мошенническая: я могу выбрать такую стратегию замены монет фальшивыми, что при достаточно длинной серии бросаний ты можешь лишь надеяться свести проигрыш до минимума. Но ты непременно проиграешь, а я выиграю. Более того, я могу математически вычислить, какую долю бросаний у меня составит выпадение орла независимо от того, выпадает у тебя орел или решка. И из вычислений я могу узнать, сколько смогу выиграть при достаточно длинной серии бросаний.
Я покажу тебе, как производятся такие вычисления, хотя ты можешь поверить мне на слово. Просто мне кажется, что тебе будет интересно. Вот как это делается.
Напомню, что я хочу вычислить долю бросаний, в которых у меня должен был бы выпасть орел. Обозначим ее через х, а размеры моего платежа через Р.
Рассмотрим сначала, что происходит, когда у тебя выпадают орлы. Всякий раз, когда моя монета падает вверх орлом и у тебя выпал орел, я теряю 9 центов. Так как доля орлов составляет х от общего числа бросаний, это означает, что в моей платежной функции есть член — 9х. Аналогичным образом, всякий раз, когда у меня выпадают решки, а у тебя орлы, я выигрываю 5 центов. Так как решки составляют (1 — х) часть от всех бросаний, в моей платежной функции должен быть член 5(1 — х).
Таким образом, если я запишу мою полную платежную функцию для тех случаев, когда у тебя выпадают орлы, то она окажется
Рорлы = -9x + 5(1 — х),
или просто
Рорлы = -14x + 5.
Вот ее график:
Рассмотрим теперь, что происходит, когда у тебя выпадают peшки. Действуя так же, как прежде, я получаю платежную функцию
Ррешки = +5х — 1(1 — х),
Ррешки = 6x — 1.
Накладывая оба графика один на другой, мы находим, что они пересекаются при х = 0.3 и Р = 0,8.
Это означает, что если я заменю 3/10 моих монет на фальшивые и случайным образом распределю фальшивые монеты среди моих монет, то в достаточно длинной серии бросаний я буду в среднем выигрывать 0.6 цента всякий раз, когда твоя и моя монеты выпадут обе либо вверх орлами, либо вверх решками.
Дни рождения — Придумано хитро, хотя, должен признаться, я никак не возьму в толк, как же все получается, — признался Сэм-старший. — Сегодня вечером я собираюсь заглянуть в клуб. Кстати, нет ли у тебя подходящей математической задачки с неожиданным решением? Мне бы хотелось немного позабавиться и позабавить членов клуба.
— Как не быть! — улыбнулся Сэм-младший. Но сначала скажи мне, пожалуйста, сколько членов клуба соберется сегодня вечером.
— Человек эдак тридцать, — прикинул Сэм-старший.
Великолепно! Дело в том, что я хочу рассказать тебе об одной задаче о днях рождения, а для нее людей должно быть достаточно много. Представь себе, что тебе известны дни рождения всех членов клуба, которые соберутся сегодня, какова по-твоему вероятность совпадения дней рождения двух членов клуба? Под днем рождения я имею в виду не год, а только месяц и день.
— Мне кажется, что вероятность совпадения дней рождения у двух из тридцати случайным образом собравшихся людей должна быть что-нибудь около 0,05, но я готов держать пари из расчета 5 к 1.
— Охотно принимаю пари, — согласился Сэм-младший, — а заодно предлагаю тебе заключить пари с кем-нибудь из членов клуба.
Даже если кто-нибудь из них предложит тебе пари из расчета 1 к 1, то рекомендую тебе принять такое пари.
— А вот этого я решительно не понимаю! — воскликнул Сэм-старший.
Между тем перед тобой один из примеров того, что мы называем «мультипликативной природой независимых вероятностей». Ты опрашиваешь членов клуба об их днях рождения до тех пор. пока чей-нибудь день рождения не повторится, и в худшем случае тебе придется опросить всех тридцать членов клуба. Так как опрос продолжается только в том случае, если день рождения очередного члена клуба не совпадает с днем рождения ни одного из ранее опрошенных членов клуба, вероятности, которые требуется перемножить, это вероятности несовпадения дня рождения каждого из вновь опрошенных. А вероятность совпадения дней рождения, разумеется, равна единице минус полученная вероятность несовпадения дней рождения.
Иначе говоря, день рождения второго из опрошенных тобой членов клуба с вероятностью 364/365 не совпадает с днем рождения первого из опрошенных. Что же касается третьего из опрошенных, то его день рождения может совпадать с днями рождения любого из первых двух опрошенных, поэтому вероятность того, что его день рождения не совпадает с их днями рождения, составляет 363/365.
Это означает, что после того, как ты опросил трех членов круга об их днях рождения, вероятность совпадения дней рождения у двух из трех опрошенных стала равна
А когда ты опросишь всех 30 членов клуба, вероятность совпадения дней рождения у двух из них окажется равной
Оцепить это число можно различными способами, но ответ, разумеется, будет одинаков. Он означает, что вероятность совпадения двух дней рождения составляет примерно 0,7, т. е. ты можешь заключить пари на то, что у кого-то из 30 членов клуба дни рождения совпадают с шансами на выигрыш, более высокими, чем 2 к 1.
— Поразительно! — не мог не признать Сэм-старший. — А сколько людей следовало бы опросить, чтобы я мог, заключить пари 1 к 1 на то, что у двух из них дни рождения совпадают?
Примерно 24 человека. Интересно, что после 24 шансы па выигрыш такого пари быстро
