V. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЕМ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ[6]
§ 30. Куб
До сих пор мы занимались только плоскими фигурами, т. е. такими, которые всеми своими точками расположены на плоскости. Плоскими поверхностями или плоскостями называются такие «поверхности, которые ровны и гладки, как поверхность зеркала или полированной доски; край линейки, приложенный в любом месте к плоскости, примыкает к ней всеми своими точками.
Теперь перейдем к фигурам, которые имеют не только длину и ширину, но также и высоту или толщину. Такие фигуры называются т е л а м и.
Начнем с рассмотрения наиболее общеизвестного тела – куба (черт. 98). Куб ограничен 6-ю равными квадратами, которые называются его г р а н я м и; стороны же граней называются р е б р а м и. Одна из особенностей куба та, что его противоположные грани лежат в плоскостях, которые не встречаются, сколько бы их ни продолжали; такие плоскости называются п а р а л-л е л ь н ы м и.
Чтобы склеить куб из бумаги (либо изготовить из жести), надо начертить его выкройку, или, как ее называют, «развертку». На черт. 99 изображена такая развертка куба для склеивания из бумаги (полоски у краев граней оставлены для клея).
Повторительные вопросы
Что называется плоскостью? Телом? Кубом? Гранями куба? Ребрами? – Сколько у куба граней? Сколько ребер? – Начертите развертку куба.
Применения
27. Надо изготовить куб, полная поверхность которого равна 600 кв. см. Каково должно быть ребро этого куба?
Р е ш е н и е. Площадь каждой из шести квадратных граней куба равна 600: 6 = 100 кв. см. Ребро куба равно стороне квадрата, т. е. ?100 = 10 см.
§ 31. Прямоугольный параллелепипед
Куб может служить примером тел, которые в математике называются «прямоугольными параллелепипедами». Прямоугольный параллелепипед, это – тело, имеющее форму прямоугольного ящика или бруса; оно ограничено 6-ю п р я м о у г о л ь н и к а м и; противоположные грани его параллельны и равны (черт. 100).
Часто нужно бывает определить, как велик объем прямоугольного параллелепипеда, – например, узнать вместимость ящика, «кубатуру» комнаты, объем бруса и т. п. Единицею меры для объемов служит объем такого куба, ребро которого равно 1 см, 1 м, – вообще какой-нибудь единице длины («линейной» единице). Такая единица меры называется «кубическим сантиметром», «кубическим метром» и т. п. – в зависимости от длины ребра кубической единицы. Подобно тому, как п л о щ а д ь фигуры можно определить, измерив лишь некоторые линии этой фигуры, так и объем многих тел возможно вычислить, если измерить некоторые их линии. Покажем, как это делается для прямоугольного параллелепипеда.
Пусть требуется определить объем (кубатуру) комнаты (черт. 101). Измеряем линейным метром длину и ширину пола: предположим, что длина его 4 м, а ширина 3 м. Мы можем, следовательно, расчертить пол на 4 3, т. е. на 12 метровых квадратов, как показывает черт. 102. Измерим теперь высоту комнаты; пусть она равна 3 метрам. Тогда очевидно, что на каждом метровом квадрате пола можно вообразить себе квадратный столб в 3 метра высоты, т. е. составленный из 3 кубических метров (черт. 103).
Так как всех подобных столбов 12, то в комнате поместится 12 3 = 36 кубических метров. Мы получили это число перемножением длины комнаты, ее ширины и высоты (4 3 3).
Итак, чтобы узнать, сколько кубических метров в комнате, нужно измерить линейным метром ее длину, ширину, высоту и перемножить эти три числа.
Сказанное относится ко всякому телу в форме прямоугольного параллелепипеда, – даже если его длина, ширина или высота содержит дробное число единиц меры. Во всех случаях -
О б ъ е м п р я м о у г о л ь н о г о п а р а л л ел е п и п е д а р а в е н п р о и з в е д е н и ю е г о д л и н ы, ш и р и н ы и
в ы с о т ы (или, как говорят, – п р о и з в е д е н и ю т р е х е г о и з м е р е н и й). Обозначая длину параллелепипеда через
Так как у куба длина, ширина и высота равны, то
О б ъ е м к у б а р а в е н к у б у е г о р е б р а. Обозначая ребро куба через
Отсюда следует, что в кубическом метре 10
Для измерения весьма больших объемов (например высокой горы) употребляют кубический километр. В кубическом километре 1000
Итак:
куб. метр = миллиону куб. см = миллиарду куб. мм.
куб. километр = миллиарду куб. метров.
Сокращенное обозначение кубических мер таково:
