Посвящается Рози
Предисловие к русскому изданию
О том, что готовится русский перевод моей книги, я впервые услышал от переводчика А.М. Семихатова, обратившегося ко мне для уточнения некоторых деталей.
Это известие привело меня в восторг. Мой не слишком убедительный опыт в изучении русского языка описан в примечании [29]. Стыдно признаться, но с тех пор мое знание русского не сильно продвинулось. Несмотря на это, я по-прежнему испытываю немалую сентиментальную привязанность к этому языку. Азам русского меня обучал преподаватель из Школы славянских и восточноевропейских исследований, расположенной поблизости от того колледжа в Лондоне, где я учился. Мой преподаватель — да простят меня небеса, я позабыл, как его звали, — был из той редкой породы людей, которые действительно искренне любят язык ради самого языка (насколько я понял из нашей электронной переписки, к числу таких людей относится и A.M. Семихатов). Чтобы мы прочувствовали, как в русских словах ставится ударение — а это самый сложный момент для всех иностранцев, изучающих русский, — он заставлял нас учить наизусть короткие отрывки из стихотворений прекрасных русских поэтов. Так что и по сей день я могу наизусть прочитать что-то из Пушкина и Есенина, хотя при этом вряд ли способен заказать по-русски и чашку кофе.
До того как A.М. Семихатов связался со мной, я ничего не знал о фонде «Династия», под эгидой которого был организован перевод моей книги. Я принялся расспрашивать своих русских друзей, те стали расспрашивать своих друзей, и т.д. Теперь я знаю гораздо больше. Я знаю, какую огромную работу по поддержанию замечательных традиций российской науки, и в частности математики, ведет фонд «Династия». И я рад, что часть этих традиций я сумел описать в своей книге. Я благодарен фонду «Династия» за то, что среди других они выбрали для перевода именно мою книгу. Это большая честь для меня.
Главная тема моей книги — Гипотеза Римана и усилия, направленные на ее доказательство, — это всего лишь небольшая часть математики, а сама математика — лишь одно из многочисленных направлений в мыслительном процессе, посредством которого человечество стремится познать ту Вселенную, где нам довелось жить. Тем не менее я надеюсь, что мое повествование достойно передает дух интеллектуальной свободы и честного научного соревнования — двух составляющих, лежащих в основе всего, что мы знаем или надеемся узнать; только они и делают возможными новые открытия и позволяют реализовать знаменитые слова Давида Гильберта, которые я цитирую в главе 16: «Wir mussen wissen, wir werden wissen» — «Мы должны знать, мы будем знать!» Я приветствую деятельность фонда «Династия», направленную на создание условий для этого.
От автора книги такого рода требуется предоставить читателям возможность одновременно и получать удовольствие от чтения, и обучаться чему-то. Удовольствие проще простого испортить плохим переводом. Я уверен, что перевод моей книги — это совсем другой случай, и склонен даже подозревать, что из рук переводчика книга вышла даже в несколько улучшенном виде. Переводческий труд редко бывает благодарной (и хорошо оплачиваемой) работой. Так что авторам остается только надеяться, что с переводчиком им повезет. Судя по нашей переписке и по тем фактам, которые стали мне известны от моих русских друзей, мне и моим русским читателям по-настоящему повезло и такой переводчик, как Алексей Семихатов, — большая удача для всех нас. И я бесконечно благодарен ему за его тщательную и кропотливую работу и за неизменное внимание к деталям.
Напоследок я хочу еще раз поблагодарить фонд «Династия» за то, что их выбор пал именно на мою книгу.
Вступление
В августе 1859 года Бернхард Риман стал членом-корреспондентом Берлинской академии наук; это была большая честь для тридцатидвухлетнего математика. В согласии с традицией Риман по такому случаю представил академии работу по теме исследований, которыми он был в то время занят. Она называлась «О числе простых чисел, не превышающих данной величины». В ней Риман исследовал простой вопрос из области обычной арифметики. Чтобы понять этот вопрос, сначала выясним, сколько имеется простых чисел, не превышающих 20. Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих тысячи? Миллиона? Миллиарда? Существует ли
Риман взялся за эту проблему, используя самый развитый математический аппарат своего времени — средства, которые даже сегодня изучаются только в продвинутых институтских курсах; кроме того, он для своих нужд изобрел математический объект, сочетающий в себе мощь и изящество одновременно. В конце первой трети своей статьи он высказывает некоторую догадку относительно этого объекта, а далее замечает:
Хотелось бы, конечно, иметь строгое доказательство этого факта, но после нескольких недолгих бесплодных попыток я отложил поиск такого доказательства, поскольку этого не требуется для непосредственных целей моего исследования.
Эта высказанная по случаю догадка оставалась почти незамеченной в течение десятилетий. Но затем, по причинам, которые я поставил себе целью описать в данной книге, она постепенно завладела воображением математиков, пока не достигла статуса одержимости, непреодолимой навязчивой идеи.
Гипотеза Римана, как стали называть эту догадку, оставалась навязчивой идеей в течение всего XX столетия и остается таковой по сей день, отразив к настоящему моменту все без исключения попытки доказать ее или опровергнуть. Эта одержимость Гипотезой Римана стала сильна как никогда после того, как в последние годы были успешно решены другие великие проблемы, долгое время остававшиеся открытыми: Теорема о четырех красках (сформулирована в 1852 году, решена в 1976), Последняя теорема Ферма (сформулирована, по-видимому, в 1637 году, доказана в 1994), а также многие другие, менее известные за пределами мира профессиональных математиков. Гипотеза Римана сегодня — это гигантский Белый Кит математических исследований.
Гипотеза Римана поглощала внимание математиков в течение всего XX века. Вот что говорил Давид Гильберт, один из виднейших математических умов своего времени, обращаясь ко второму международному конгрессу математиков:
В теории распределения простых чисел в последнее время Адамаром, де ля Валле Пуссеном, фон Мангольдтом и другими сделаны существенные сдвиги. Но для полного решения проблемы, поставленной в исследовании Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины», необходимо прежде всего доказать справедливость исключительно важного утверждения Римана <…>.
Далее Гильберт приводит формулировку Гипотезы Римана. А вот как сто лет спустя высказался Филип
