Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

достаточно далеко на восток.

Рисунок 5.3. Функции x^a при малых положительных a.

Так вот, неважно, сколь маленьким вы возьмете a, все равно график функции ln x рано или поздно окажется более плоским, чем график x^a. Если а больше чем 1/e, то это видно сразу, даже на изображенных графиках. Если же a меньше чем 1/e, то, уйдя достаточно далеко на восток — т.е. взяв достаточно большой аргумент x, мы увидим, как кривая ln x снова пересекает кривую x^a, после чего уже навсегда остается ниже нее.

Разумеется, путешествие может оказаться неблизким. Кривая ln x повторно пересекает кривую x^0,3 чуть к востоку от точки x = 379; она повторно пересекает кривую x^0,1 только после того, как пройдет через точку x = 332 105; и она повторно пересекает кривую x^0,001 только после прохождения точки x = 3 430 631 121 407 801. Если бы мы нарисовали график функции x в степени одна триллионная (т.е. x^{0,000000000001}), то она выглядела бы до безобразия плоской. Настолько, что ее нелегко было бы отличить от функции «остановки сердца», которая имеет высоту 1 над осью x, — ничего похожего на изящно восходящую кривую логарифмической функции. Логарифмическая кривая пересекла бы ее на малюсеньком расстоянии к востоку от e. И однако же степенная функция растет, хотя и чрезвычайно медленно, в то время как логарифмическая функция постепенно становится все более пологой. Рано или поздно они снова пересекутся, и тогда уже логарифмическая кривая навеки останется под кривой x^{0,000000000001}. Точка пересечения в этом случае наступит при таком большом аргументе, что я не могу его здесь записать: это число начинается как 44 556 503 846 304 183… и содержит еще 13 492 301 733 606 цифр.

Картина такова, как будто ln x старается быть функцией x⁰. Конечно, это не x⁰: для любого положительного числа выражение x⁰ определяется равным числу 1, согласно 4-му правилу, и соответствующий график, как мы видели, — это «остановка сердца». Но хотя функция ln x и не есть x⁰, она умудряется при достаточно больших x поднырнуть под функцию x^? со сколь угодно малым ? и оставаться там уже навсегда.[39]

В действительности дело обстоит даже еще более странным образом. Рассмотрим утверждение: «функция ln x рано или поздно будет расти медленнее, чем x^0,001, и x^0,000001, и x^0,000000001, и …» Представим себе, что мы возвели все это утверждение в некоторую степень — скажем, в сотую. (Это, надо признать, не очень строгая математическая операция, но она приводит к верному результату.) После применения 3-го правила утверждение будет выглядеть так: «функция (ln x)¹⁰⁰ рано или поздно будет расти медленнее, чем x^0,1, и x^0,0001, и x^0,0000001, и …». Другими словами, если логарифм растет медленнее, чем любая степень буквы x, то это же верно и для любой степени функции ln x. Каждая из функций (ln x)², (ln x)³, (ln x)⁴, …, (ln x)¹⁰⁰, … растет медленнее, чем любая степень x. Независимо оттого, сколь велико N и сколь мало ?, график функции (ln x)^N в конце концов поднырнет под график функции x^? и останется там, внизу.

Такое нелегко себе представить. Функции (ln x) ^N растут быстро — и даже очень быстро. И тем не менее, если на рисунке 5.3 отойти достаточно далеко на восток, то рано или поздно, при некотором впечатляюще большом аргументе, каждая из них опустится ниже кривой x^0,3, x^0,2, x^0,1 и вообще любой кривой из этого семейства, какую вы только потрудитесь нарисовать. Придется отправиться на восток в окрестность точки x = 7,9414?10³⁹⁵⁹, прежде чем (ln x) ¹⁰⁰ опустится ниже, чем x^0,3; и однако же это случится.

V.

Кое-что из сказанного понадобится нам прямо сейчас, а кое-что останется на потом. Но все сказанное важно для понимания Гипотезы Римана, и я призываю вас проконтролировать некоторые основные моменты — проверить, как вы их понимаете, прежде чем двигаться дальше. Для этого сгодится карманный калькулятор. Можете, например, найти ln 2 (он равен 0,693147…) и ln 3 (равный 1,098612…) и удостовериться, что при сложении их действительно получается ln 6 (равный 1,791759…). Но только обратите, пожалуйста, внимание, что (как я уже упоминал) прежде использовались логарифмы по основанию 10, так что клавиша «log» на многих карманных калькуляторах вычисляет именно десятичные логарифмы. Тот единственный логарифм, который нас здесь интересует, — логарифм по основанию e — на калькуляторе, как правило, вычисляется с помощью альтернативной клавиши, помеченной ln x. Вот эта клавиша вам и нужна. (Буква n указывает на «натуральный» логарифм; логарифм по основанию e по всем правилам называется «натуральный логарифм».)

Ну а теперь вернемся к базельской задаче.

VI.

Эйлерово решение базельской задачи прекрасно иллюстрирует сделанное в разделе I этой главы замечание, что поиск решений в замкнутом виде расширяет понимание, позволяя проникнуть в суть вещей. Эйлерово решение дало не только замкнутое выражение для ряда из обратных квадратов, но в качестве побочного продукта еще и замкнутые выражения для рядов ,  и т.д. Для четных N результат Эйлера дает в замкнутом виде точное значение для следующего бесконечного ряда (5.1):

Когда N равно двум, ряд сходится к ?²/6, как уже было сказано; когда N равно 4, ряд сходится к ?⁴/90; когда N равно 6, ряд сходится к ?⁶/945 и т.д. Метод Эйлера дает ответ для каждого четного N. В более поздней публикации он сам добрался до N = 26, когда ряд сходится к числу 1 315 862?²⁶/11 094 481 976 030 578 125.

А что, если N нечетное? Полученный Эйлером результат ничего про это не говорит. Как не говорит и ни один другой результат, полученный за последующие 260 лет. Нет никаких идей