Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

I.

Геттинген, конечно, был не единственным местом на земле, где в первые годы XX века создавалась первоклассная математика. Взглянем на английского математика Джона Идензора Литлвуда за шестьдесят с чем-то лет до того, как он предлагал «понюхать пороху» Хью Монтгомери. В 1907 году, будучи молодым математиком в Тринити-колледже в Кембридже, Литлвуд был занят поиском содержательной задачи, из которой удалось бы вырвать хороший «кусок мяса» для диссертации.

Барнс[117] решился предложить такую новую задачу: «Доказать Гипотезу Римана». В конце концов оказалось, что это героическое предложение привело к некоторым результатам; но сначала надо сказать о ситуации с ?(s) и с простыми числами на 1907 год, в особенности в том плане, как я ее воспринимал. Я впервые познакомился с ?(s) у Линделёфа[118], но там вообще ничего не говорится о простых числах, а я и не догадывался о существовании какой бы то ни было связи между ними. Я знал, что ГР — знаменитая гипотеза, но полагал, что это просто проблема из теории целых функций. А все это происходило в течение долгих каникул, когда у меня не было доступа к литературе (даже если бы мне пришло в голову заняться какими-нибудь поисками). (Что касается людей образованных лучше меня, то лишь некоторые слышали о работе Адамара и лишь совсем немногие — о статье де ля Валле Пуссена в каком-то бельгийском журнале. Во всяком случае, та деятельность воспринималась как очень сложная и проходящая в стороне от основного течения математики. Знаменитая статья Римана была включена в собрание его трудов; в ней утверждается ГР и потрясающая, но не доказанная формула для ?(x). Сама Теорема о распределении простых чисел не упоминается, хотя ее ничего не стоит получить, если принять приведенную там формулу. Что же касается Харди, то, как он впоследствии сказал мне, он знал, что ТРПЧ была доказана, но, правда, думал, что это сделал Риман. Все изменилось в мгновение ока с выходом в свет книги Ландау в 1909 году.)

Это отрывок из «Математической смеси» Литлвуда — причудливого собрания мемуарных фрагментов, шуток и математических головоломок, впервые опубликованного в 1953 году.[119] Кроме самого Литлвуда, действующие лица в приведенном отрывке — это английский математик Годфри Хэролд Харди (1877-1947) и немец Эдмунд Ландау (1877-1938). Эти трое — Ландау, Харди, Литлвуд — через полпоколения после Гильберта были пионерами в ранних попытках одолеть Гипотезу Римана.

II.

Британская математика в XIX столетии демонстрировала странную асимметрию в своем развитии и достижениях. Британские ученые добились значительных успехов в наименее абстрактных областях математики — тех, которые ближе всего связаны с физикой. Такое наблюдение — результат моего высшего математического образования, полученного в Лондоне. Когда у нас были занятия по вещественному анализу, теории функций комплексной переменной, теории чисел и алгебре, фамилии ученых в названиях теорем сыпались на нас с той стороны Ла-Манша: Коши, Адамар, Якоби, Чебышев, Риман, Эрмит, Банах, Гильберт… А потом мы шли на лекции по ММФ (т.е. по методам математической физики) и внезапно снова оказывались на Британских островах викторианской эпохи: теорема Грина (1828), формула Стокса (1842), число Рейнольдса (1883), уравнения Максвелла (1855), оператор Гамильтона (1834)…

Кроме того, заметной активностью отличались британские ученые, занятые в наиболее абстрактных областях математики: Артур Кэли и Дж. Дж. Сильвестр изобрели матрицы (о них мы еще поговорим ниже) и теорию алгебраических инвариантов. Джордж Буль открыл целый новый материк «оснований» — математической логики, которую он называл «законами мышления». (Можно поспорить по поводу того, действительно ли этот предмет находится так уж далеко по шкале абстракции; сам Буль заявлял, что его намерением было сделать логику частью прикладной математики. Однако мне кажется, что математическая логика достаточно абстрактна для большинства из нас, простых смертных.) Любопытно отметить, что за неделю до того, как Гильберт выступил на Парижском конгрессе, тот же актовый зал Сорбонны был зарезервирован для Международного философского конгресса. Один из прочитанных там докладов назывался «Представления о порядке и абсолютном положении в пространстве и времени». Докладчиком был молодой английский логик, также из Тринити-колледжа, по имени Бертран Рассел, который спустя 10 лет вместе с Элфредом Нортом Уайтхедом стал автором классического трактата по математической логике (точнее, логифицированной математике) — Principia Mathematica.

Таким образом, в Британии полным ходом развивалась наименее абстрактная и наиболее абстрактная математика, а огромное количество всего, требующего среднего уровня абстракции, — теория функций, теория чисел, большая часть алгебры — было оставлено для континентальной Европы. В анализе — наиболее плодородном разделе математики XIX века — присутствие британцев практически незаметно. К концу столетия они фактически исчезли даже из тех областей, где традиционно были сильно представлены. Лишь семь британских математиков присутствовали на Парижском конгрессе; по этому показателю Британия стояла ниже Франции (90), Германии (25), США (17), Италии (15), Бельгии (13), России (9), Австрии и Швейцарии (по 8 каждая). В плане математики Британия в 1900-х годах была тихой заводью.

Но и в тихой заводи, как известно, черти водятся. Тринити-колледж в Кембридже, где обитал Литлвуд, поддерживал сильную математическую традицию. Некогда здесь работал сэр Исаак Ньютон (1661 -1693), и колледж мог похвастаться тем, что в течение XIX столетия выпустил из своих стен нескольких гениев от математики и физики: это Чарльз Бэббидж, которого обычно считают изобретателем компьютера; астроном Джордж Эйри, именем которого названо семейство математических функций; логик Огастес де Морган; алгебраист Артур Кэли; Джеймс Клерк Максвелл и другие, несколько менее известные имена. Бертран Рассел защитил диссертацию в Тринити-колледже в 1893 году, стал сотрудником[120] в 1895-м и продолжал преподавать там в то время, когда сотрудником стал и Харди. История Тринити-колледжа в XX столетии оказалась несколько менее однородной. Отсюда происходили основные участники кембриджской шпионской сети[121] а также несколько блумсберийцев[122]. Однако в том, что касается математики в первые годы столетия, Тринити-колледж был прежде всего местом, где работал Г.X. Харди — тот самый Харди из воспоминаний Литлвуда. Именно Харди, как никто другой, пробудил английскую чистую математику от долгого сна.

Когда в 1897 году Харди трудился в Тринити-колледже над диссертацией, на глаза ему попался знаменитый в то время учебник Cours d'Analyse [123] написанный французским математиком Камилем Жорданом. Жордан известен тем, кто изучает теорию функций комплексной переменной, поскольку в ней есть теорема Жордана, утверждающая примерно следующее: несамопересекающаяся замкнутая плоская кривая (например, окружность) разбивает плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Эту теорему необычайно трудно доказать — Эстерман говорит о собственном доказательстве Жордана как об «интеллектуальном подвиге». По-видимому, Cours d'Analyse произвел на Харди примерно такое же впечатление, какое Гомер в переводе Чапмена произвел на Китса.[124]

После того как Харди приняли в Тринити-колледж (в то самое лето, когда Гильберт выступал со своей речью), он посвятил несколько последующих годов написанию работ по анализу.

Одним из плодов раннего увлечения Харди анализом стал учебник для студентов, называвшийся «Курс чистой математики», впервые вышедший в 1908 году и с тех пор никогда не перестававший издаваться. Как и большинство британских студентов XX века, я учил анализ по этой книге. Мы называли ее просто «Харди». Заглавие книги в сильной степени вводит в заблуждение, потому что там на самом деле нет ничего, кроме анализа, — никакой алгебры, никакой теории чисел, никакой геометрии, никакой топологии. Правда, никто не обращал на это внимания. В качестве введения в классический (т.е. в рамках XIX века) анализ этот учебник близок к идеалу настолько, насколько это вообще возможно для учебника. Его влияние на мой собственный подход к математике оказалось огромным. Когда я смотрю на то, что уже написано в этой книге, я явственно вижу Харди.