Пятьсот двадцать головоломок

347. Два квадрата в одном. Два квадрата произвольных размеров можно разрезать на 5 частей, как показано на рисунке, и составить из них квадрат больших размеров. В этом случае приходится разрезать меньший из двух квадратов. Однако не могли бы вы указать простой способ, позволяющий вовсе не разрезать меньший квадрат?

348. Задача краснодеревщика. У краснодеревщика был кусок шахматной доски 7 ? 7, сделанный из превосходной фанеры, который он хотел разрезать на 6 частей так, чтобы из них можно было составить 3 новых квадрата (все разных размеров).

Как ему следовало поступить, не теряя при этом материала и проводя разрезы строго вдоль линий?

349. Импровизированная шахматная доска. Хорошие головоломки на разрезание фигуры лишь на две части встречаются нечасто. Однако вот одна из таких головоломок, которая, как мне кажется, привлечет внимание читателей.

Разрежьте изображенный здесь кусок клетчатого линолеума на две части, из которых можно было бы составить правильную шахматную доску, не перекрашивая клетки. Разумеется, проще всего было бы отрезать два выступающих белых квадратика, но при этом частей получилось бы три, а не две, как требует условие.

350. Лоскутная подушка. У некой леди было 20 кусочков шелка одинаковой треугольной формы и одного размера. Она обнаружила, что из четырех таких кусочков можно сшить квадрат (см. рисунок).

Как ей следует сшить между собой все эти 20 кусочков, чтобы получилась верхняя часть квадратной диванной подушки? При этом не должно оставаться никаких отходов материала, равно как не следует оставлять по краям припуск на швы.

351. Испорченный ковер. У одной леди был дорогой персидский ковер размером 12 ? 9 м, который сильно пострадал от пожара. Поэтому ей пришлось вырезать в середине ковра дыру размером 8 ? 1 м (см. рисунок), а затем оставшуюся часть разрезать на два куска, из которых она сшила квадратный ковер размером 10 ? 10 м.

Как ей это удалось сделать? Разумеется, припуски на швы оставлять не следует.

352. Как сложить шестиугольник? Головоломки, в которых требуется что-либо сложить из бумаги, одновременно и интересны и поучительны. Я имею в виду не всевозможные коробочки, кораблики и лягушки, сложенные из бумаги, поскольку это скорее игрушки, чем головоломки, а решение некоторых геометрических задач, так сказать, «голыми руками».

Приведу один сравнительно простой пример. Допустим, что у вас есть квадратный лист бумаги. Как его следует согнуть, чтобы сгибы очертили правильный шестиугольник (см. рисунок)? Разумеется, вы не должны прибегать ни к карандашу, ни к линейке, ни к другим подобным инструментам. Шестиугольник может располагаться внутри квадрата произвольно.

353. Как сложить пятиугольник? Вот еще одна головоломка на складывание, значительно более трудная, чем предыдущая задача с шестиугольником. Если у вас имеется квадратный лист бумаги, то как следует его согнуть, чтобы сгибы образовали правильный пятиугольник (см. рисунок)? Сделать это вы должны «голыми руками», не прибегая к измерениям и инструментам.

354. Как сложить восьмиугольник? Сумеете ли вы из квадратного листа бумаги вырезать правильный восьмиугольник (см. рисунок) с помощью одних только ножниц, не пользуясь циркулем и линейкой? Разрешается лишь сложить предварительно лист бумаги, чтобы затем разрезать по сгибам.

355. Квадрат и треугольник. Возьмите квадратный лист бумаги и сложите его таким образом, чтобы получился наибольший из возможных равносторонний треугольник. Треугольник на рисунке, у которого все стороны равны стороне квадрата, не будет наибольшим. Разумеется, при этом производить измерения и пользоваться какими-либо инструментами не следует.

356. Пятиугольник из полоски. Изображенную на рисунке полоску бумаги произвольной длины (скажем, длина ее более чем в 4 раза превышает ширину) сложите в правильный пятиугольник так, чтобы все ее части лежали внутри заданной фигуры. Единственное условие состоит в том, что угол ABC должен совпадать с внутренним углом правильного пятиугольника.

357. Задача о кратчайшем сгибе. Перегните страницу так, чтобы нижний внешний угол коснулся внутреннего края, а сгиб оказался бы наикратчайшим из возможных. Это, пожалуй, наиболее простой вопрос, какой только можно задать, однако многие читатели призадумаются, где именно нужно перегнуть страницу. Здесь показаны два примера сгибов такого рода. Вы видите, что сгиб АВ больше сгиба CD, но последний не самый короткий из возможных.

358. Почтовые марки. Если у вас имеется блок из восьми почтовых марок 4 ? 2 (см. рисунок), то очень интересно найти различные способы сложить все марки так, чтобы они оказались под первой. Скажу сразу же, что всего существует 40 таких способов, когда первая марка обращена лицевой стороной кверху, а остальные располагаются под ней. Марки 5, 2, 7 к 4 всегда будут лежать лицевой стороной вниз, но вы можете добиться того, чтобы любая марка, кроме 6, лежала непосредственно под 1, хотя существует только по два способа расположить так марки 7 и 8. Пользуясь одним небольшим открытым мной законом, я пришел к убеждению, что марки можно сложить в порядке 1, 5, 6, 4, 8, 7, 3, 2 и 1, 3, 7, 5, 6, 8, 4, 2 с первой маркой, расположенной лицевой стороной кверху; однако мне пришлось поломать голову, прежде чем удалось осуществить это на практике.

Сумеет ли читатель сложить марки таким образом, не разрывая, конечно, перфорации? Попробуйте это сделать с листком бумаги, на котором марки отмечены сгибами, а номера для удобства поставлены с обеих сторон. Это очень интересная задача. Не откладывайте ее в сторону, считая неразрешимой!

359. Упрощенный солитер. Вот один упрощенный вариант старинной игры солитер, который поможет во многих случаях приятно провести досуг.

Нарисуйте на листе бумаги или картона простую диаграмму и разместите на ней 16 пронумерованных фишек так, как показано на рисунке. Одна фишка может перепрыгивать через другую на свободный квадрат, расположенный сразу за этой последней, причем та, через которую перепрыгнули, удаляется. Однако перепрыгивать по диагонали запрещено.

Задача заключается в том, чтобы, последовательно совершая «прыжки», удалить все фишки, кроме одной.

Вот решение в восемь ходов: 5—13, (6—14, 6—5), 16—15, (3—11, 3—6), 2—10, (8—7, 8—16, 8—3), (1—9, 1— 2, 1—8), (4—12, 4—1). Приведенная запись означает, что фишка 5 перепрыгивает через фишку 13 и фишку 13 снимают с доски; фишка 6 перепрыгивает через фишку 14, после чего фишку 14 снимают с доски, и т. д. Прыжки в скобках рассматриваются как один ход, поскольку они совершаются подряд одной и той же фишкой. Легко заметить, что последний прыжок совершает фишка 4.

Постарайтесь теперь найти решение в семь ходов, при котором последний прыжок совершит фишка