Пятьсот двадцать головоломок

F раздает каждому по 1 галлону и возвращается назад. G, H, J преодолевают еще 40 миль, G дает каждому по 1 галлону и едет назад. H и J проезжают еще 40 миль, H отдает 1 галлон J и возвращается. Наконец, последний путешественник J проезжает еще 40 миль, располагая 9 галлонами на обратный путь. Таким образом, J достигает пункта, расположенного в 360 милях от начального. Это наибольшее расстояние, которое можно проехать по прямой при заданных условиях.

76. Уокинхолм складывает 5 рационов на 90-мильной отметке (см. рисунок) и возвращается на базу (5 дней). Затем он оставляет 1 рацион на отметке 85 миль и возвращается к отметке 90 миль (1 день). Один рацион профессор оставляет на отметке 80 миль и возвращается снова к отметке 90 миль (1 день). Переносит 1 рацион на отметку 80 миль, возвращается к отметке 85 миль, подбирает оставшийся там 1 рацион и переносит его на отметку 80 миль (1 день). «Забрасывает» 1 рацион на отметку 70 миль и возвращается к отметке 80 миль (1 день), затем возвращается на базу (1 день). Таким образом, на отметках 70 и 90 миль остается по 1 рациону. Уокинхолм переносит 1 рацион на отметку 5 миль и возвращается на базу (1 день). Если ему нужно пройти 20 миль, то он может это сделать, дойдя до отметки 10 миль и вернувшись на базу. Переносит 4 рациона на отметку 10 миль и возвращается на базу (4 дня). Оставляет 1 рацион на отметке 10 миль и возвращается к отметке 5 миль, подбирает оставленный там 1 рацион и переносит его к отметке 10 миль (1 день). Переносит 2 рациона на отметку 20 миль и возвращается к отметке 10 миль (2 дня). Переносит 1 рацион к отметке 25 миль и возвращается к отметке 20 миль (1 день). Оставляет 1 рацион на отметке 30 миль, возвращается к отметке 25 миль, забирает оставленный там 1 рацион и переносит его на отметку 30 миль (1 день). Идет к отметке 70 миль (2 дня). Идет на базу (1? дня). Всего 23? дня.

Предпринимались попытки уменьшить это время, но все они были основаны на трюках, так или иначе запрещенных. Например, Уокинхолма «вынуждали» оставлять не целый суточный рацион, а лишь его часть, совершать марш-бросок или съедать суточный рацион перед уходом с очередной отметки, чтобы он мог нести еще два суточных рациона и т. п. В последнем случае Уокинхолм на самом деле нес бы три рациона: один в желудке и два за плечами!

Если бы маршрут профессора пролегал по пустыне, то кратчайшее время равнялось бы 86 дням, а поступать следовало бы так.

Сложить 42 рациона в 10 милях от базы, вернуться на базу (42 дня). Отнести 1 рацион на отметку 15 миль, вернуться к первому складу в 10 милях от базы (1 день). Оставить 20 рационов в 20 милях от базы и вернуться к складу, расположенному в 10 милях от базы (20 дней). Отнести 1 рацион на расстояние 20 миль от базы и вернуться в точку, отстоящую на 15 миль от базы, взять ранее оставленный там 1 рацион и перенести его к отметке 20 миль (1 день). Перенести 10 рационов в точку, отстоящую на 30 миль от базы, и вернуться к отметке 20 миль (10 дней). Отнести 1 рацион к отметке 35 миль и вернуться к отметке 30 миль (1 день). Отнести 4 рациона на отметку 40 миль и вернуться к отметке 30 миль (4 дня). Отнести 1 рацион к отметке 40 миль и вернуться к отметке 35 миль. Взять там 1 рацион и перенести его к отметке 40 миль (1 день). Отнести 2 рациона в точку, отстоящую на 50 миль от базы, и вернуться к отметке 40 миль (2 дня). Отнести 1 рацион к отметке 55 миль и вернуться к отметке 50 миль (1 день). Перенести 1 рацион к отметке 60 миль и вернуться к отметке 55 миль. Взять там 1 рацион и перенести его на отметку 60 миль (1 день). Совершить оттуда переход до конечного пункта маршрута (2 дня). Всего — 86 дней.

77. Если человек, выйдя из A, пройдет 1? км со скоростью 5 км/ч, то на это он затратит 20 мин. Обратный путь со скоростью 4 км/ч займет у приятелей 25 мин. Таким образом, человек догонит приятеля-инвалида в 12.35. Последний к тому времени проедет ? км за 35 мин со скоростью 1 км/ч.

78. Предположим, что поезд идет в течение часа и имеет невероятную длину 3 км. Тогда (см. рисунок) за это время он пройдет от B до C 60 км, а пассажир переместится от A до C, или на 63 км. С другой стороны, если бы пассажир шел от паровоза в хвост поезда, то поезд успел бы пройти расстояние от B до C (снова 60 км), в то время как пассажир переместился бы лишь на расстояние от B до C, то есть на 57 км. Следовательно,в первом случае скорость пассажира относительно железнодорожного полотна составляет 63, а во втором — 57 км/ч[32].

79. Поскольку поезд идет 5 ч, разделим путь на 5 равных интервалов. Когда леди выезжает из Вюрцльтауна, 4 встречных поезда уже находятся в пути, а пятый лишь отправляется со станции. Каждый из этих 5 поездов она встретит. Когда леди проедет ? пути, из Мадвилля отправится новый встречный поезд, когда она проедет ? пути — еще один, ? — еще один, ? — еще один и, наконец, когда она прибудет в Мадвилль, оттуда как раз будет отправляться очередной, пятый, поезд. Если мы примем, как и следует сделать, что она не встречает «по пути» ни этот последний поезд, ни тот, который прибыл в Вюрцльтаун, когда ее поезд отправлялся оттуда, то по дороге из Вюрцльтауна в Мадвилль леди повстречает 9 поездов.

80. Слуга должен нести чемодан 1? км и передать его джентльмену, который донесет чемодан до станции. Садовник должен нести другой чемодан 2? км, а потом отдать его слуге, который и донесет чемодан до станции. Таким образом, каждый из них пронесет один чемодан 2? км — иначе говоря, труд, который затратят на переноску багажа джентльмен, слуга и садовник, будет одинаковым.

81. Пусть n — число ступенек эскалатора; время, которое требуется, чтобы одна ступенька исчезла внизу, примем за единицу.

Тротмен проходит 75 ступенек за n - 75 единиц времени, или со скоростью 3 ступеньки за (n - 75)/25 единиц, времени. Следовательно, Уокер проходит 1 ступеньку за (n - 75)/25 единиц времени. Но он же проходит и 50 ступенек за n - 50 единиц времени, или 1 ступеньку за (n - 50)/50 единиц времени. Следовательно, (n - 50)/50 = (n - 75)/25, откуда n = 100.

82. Путешествие длилось 10 ч. Аткинс прошел пешком 5 км; Браун — 13 км, а ослик, принадлежавший Крэнби, пробежал в общей сложности 80 км. Надеюсь, ослику после такого подвига дали хорошенько отдохнуть.

83. Велосипедисты A, B, C, D могут проехать один километр соответственно за ?, , и ч. Следовательно, они совершают полный круг за , , и ч и, таким образом, в первый раз встречаются через ч (или, что то же, через 6? мин). Четыре раза по 6? мин составит 26? мин. Поэтому четвертая встреча всех четырех велосипедистов произойдет в 12 ч 26 мин 40 с.

84. Брукс догонит Картера через 6? мин.

85. 1) Муха встретит B в 1 ч 48 мин.

2) Определять расстояние, которое пролетит муха, не нужно. Это слишком трудная задача. Зато можно просто найти время, когда бы могли столкнуться автомобили, — 2 ч. На самом деле муха пролетает (в километрах):

сумма этой бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 300 км.

86. Наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 4, 5, 6 и 7 равно 420. Вычитая из него 1, получаем 419 — возможное число ступенек. Кроме того, условиям задачи будут удовлетворять числа, полученные последовательным прибавлением чисел, кратных 420, к 419. Следовательно, число ступенек в эскалаторе может быть равно 419, 839, 1259, 1679 и т. д. Поскольку интересующий нас эскалатор содержит меньше 1000 ступенек и на линии есть еще один эскалатор с меньшим числом ступенек, обладающий теми же свойствами, что и первый, то эскалатор на «Керли-стрит» содержит 839 ступенек.