Пятьсот двадцать головоломок

полагаю, в следующем. Допустим, что шестизначное число равно 843 712.

1) Делится ли оно без остатка на 2? Да.

2) Делится ли частное без остатка на 2? Да.

3) Делится ли новое частное без остатка на 2? Да.

Двадцать ваших вопросов должны быть все одинаковыми. Запишите справа налево вместо каждого «да» 0, а вместо каждого «нет» 1. Задав 20-й вопрос, вы получите 11001101111111000000. Это не что иное, как наше число 843 712, записанное в двоичной системе. Поскольку справа стоит 6 нулей, то первая справа единица означает 2⁶, следующая 2⁷ и т. д. Сложив все степени двойки от 6-й до 15-й и прибавив к ним 2¹8 и 2¹9, вы получите число 843 712 в десятичной записи.

Если число не слишком велико, например равно 100 000, то достаточно было бы задать 17 вопросов, знай вы только, что частное равно 0. Три последних вопроса добавят лишних 3 нуля в старших разрядах вашего двоичного числа. Во избежание недоразумений лучше с самого начала считать, что 0 делится на 2 без остатка, а частное равно 0.

181. В каждой стопке число карт должно равняться 13 минус достоинство самой нижней из них. Следовательно, 13, умноженное на число стопок, минус сумма нижних карт и плюс число оставшихся карт должно равняться общему числу карт в колоде, то есть 52. Значит, сумма нижних карт равна 13, умноженному на число стопок, минус 52 и плюс число оставшихся карт. Но это то же самое, что 13, умноженное на число стопок без 4, плюс число оставшихся карт. Читатель с алгебраическими наклонностями легко сможет выразить все это на языке привычных символов.

182. У каждого из родителей было по 3 ребенка от первого брака, и.6 детей родилось от второго брака.

183. Нед Смит и его сестра Джейн получили по 3 яблока. Том и Кэт Брауны получили соответственно 8 и 4 яблока, Бил и Энн Джонсы — 3 и 1 яблоко, а Джэку и Мэри Робинсонам досталось 8 и 2 яблока. Всего было роздано 32 яблока.

184. Мать Мэри звали миссис Джонс. Покупки и затраты распределились следующим образом.

Среди дочерей:

Хильда купила 4 м за 16 центов,

Глэдис купила 6 м за 36 центов,

Нора купила 9 м за 81 цент,

Мэри купила 10 м за 1 доллар.

Среди матерей:

Миссис Смит купила 8 м за 64 цента,

миссис Браун купила 12 м за 1,44 доллара,

миссис Уайт купила 18 м за 3,24 доллара,

миссис Джонс купила 20 м за 4 доллара.

185. Чтобы найти число, представляющее собой одновременно и квадрат, и треугольное число, надо решить уравнение Пелля: 8x² + 1 = y² Последовательные значения для x равны 1, 6, 35 и т. д., а для y равны 3, 17, 99 и т. д. Ответом служит число 1225 (35²), обладающее требуемыми свойствами.

188. Разумеется, можно найти несколько решений данной задачи, но, по-видимому, наименьшими числами будут:

При отыскании общего решения используется тот факт, что любое простое число вида 4m + 1 представляет собой сумму квадратов. Быть может, читателю захочется найти это решение.

187. Ответом служит число 2?. Чтобы найти его, требуется составить пропорцию: 5 : 4 = 3? : 2?.

188. Ответ имеет вид

Данное число можно умножить на 4 и разделить затем на 5, просто перенеся 2 из начала в конец.

189. Следующие четыре числа, составленные из пяти нечетных цифр, в сумме дают 14: 11, 1, 1, 1.

190. 1) 8 111?; 2) 18?; 3) 7 и 1; 4) 1?; 5) 8?: 6) .

191. У Джека было 11 голов скота, у Джима — 7 и у Дана — 21, то есть всего 39 голов скота.

192. «Галочки» можно расставить 9 864 100 способами.

193. Кубы всех чисел от 14 до 25 включительно (всего 12) в сумме дают 97 344 = 312². Следующим за наименьшим ответом будут пять кубов 25, 26, 27, 28 и 29, сумма которых равна 315².

194. 7³ = 343, 8³ = 512, 512 - 343 = 169 = 13².

195. 642³ = 264 609 288; 641³ = 263 374 721 и разность между кубами равна 1 234 567.

196. Ответом служит число 225 625 (квадраты чисел 15 и 25, выписанные подряд один за другим), равное квадрату 475.

197. Ответ: 482, 3362, 6242. Разность этой прогрессии равна 2880. Первое и второе числа в сумме дают 62², первое и третье — 82², а второе и третье — 98².

198. Если прибавить 125 к 100 и 125 к 164, то получатся числа 225 = 15² и 289 = 17².

199. У офицера было 1975 солдат. Когда он образовал каре 44 ? 44, то у него осталось 39 лишних солдат, а когда он попытался образовать каре 45 ? 45, ему не хватило 50 человек.

200. Вообще мы можем взять числа вида 625m⁶ и 2 ? 625m⁶. Так, если мы возьмем m = 1, то получим 625² + 1250² = 125³ и 625³ + 1250³ = 46 875².

201. Молочник должен добавить ? л снятого молока.

202. Наименьшее число орехов равно 2179. Лучше всего сначала иметь дело только с первыми двумя случаями и выяснить, что 34 (или 34 плюс любое кратное 143) удовлетворяет условию для 11 и 13 обезьян. Затем следует найти наименьшее число такого вида, удовлетворяющее условию для 17 обезьян.

203. Число яблок у первого мальчика относится к числу яблок у второго мальчика и к числу яблок у третьего соответственно как 6 : 4 и 6 : 3. Сумма чисел 6, 4, 3 равна 13. Следовательно, мальчики получат , и , или 78, 52 и 39 яблок.

204. Двое работников должны напилить 3 м³ дров.

205. В пяти пакетах содержится 27, 25, 18, 16, 14 орехов. Содержимое каждого пакета можно найти, вычитая из 100 общую сумму орехов в тех парах пакетов, куда не входит данный пакет.Так, в третьем пакете содержится 100 - (52 + 30) = 18 орехов.

206. Первоначально было 1021 орех. Томми получил 256, Бесси 192, Боб 144 и Джесси 108 орехов. Всего девочки получили 300, а мальчики 400 орехов. Тетушка Марта оставила себе 321 орех.

207. У торговки было 40 яблок. Том оставил ей 30, Боб 22 и Джим 12 яблок.

208. Нужно выдать покупателю четыре коробки по 17 и две по 16 фунтов, что и составит в точности 100 фунтов.