Большая Советская Энциклопедия (ЛО)

l:href='page_071-037'>логарифмическими таблицами.

Логарифмическая бумага

Логарифми'ческая бума'га, специальным образом разграфленная бумага; обычно изготовляется типографским способом. Она строится следующим образом (рис. 1): на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел u (на оси абсцисс) и v (на оси ординат); затем через найденные точки (u, v) проводятся прямые, параллельные осям. Наряду с Л. б. применяется полулогарифмическая бумага (рис. 2): на одной из осей прямоугольной системы координат откладываются числа u а на другой — десятичные логарифмы чисел v. Л. б. и полулогарифмическая бумага служат для вычерчивания на них графиков функций, которые здесь могут принимать более простую и наглядную форму и в ряде случаев выпрямляются. На Л. б. прямыми линиями изображаются функции, заданные уравнениями вида v = au^b, где а и b — постоянные коэффициенты, т. к. такие уравнения после логарифмирования и перехода к системе координат х = lgu, у = lgv приводятся к виду:

  у = bx + lga.

  Аналогично на полулогарифмической бумаге прямыми линиями изображаются функции, заданные уравнениями вида v = ab^u. Это свойство Л. б. и полулогарифмической бумаги находит применение при отыскании аналитической формы эмпирических зависимостей. Если, например, ряд точек с координатами u_i, v_i, где u_i — значения аргумента и, при которых из опыта получены значения v_i функции v, нанесённых на Л. б., с достаточной точностью располагается на прямой, то прямую принимают за график функции v = f(u), которую, следовательно, можно записать в виде v = au^b. Для случая полулогарифмич. бумаги зависимость будет иметь вид v = ab^u. Коэффициенты а и b находятся по чертежу.

Рис. 2. Полулогарифмическая бумага.

Рис. 1. Логарифмическая бумага.

Логарифмическая линейка

Логарифми'ческая лине'йка, счётная линейка, инструмент для несложных вычислений, с помощью которого операции над числами (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и др.) заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Л. л. состоит из корпуса, движка и бегунка (из стекла или плексигласа), имеющего визирную линию (рис. 1). На корпусе и движке нанесены основные шкалы С и D, размеченные так, что положение любого числа Х (целого или дробного от 1 до 10) определяется длиной отрезка, равного mlg Х, отложенного от начала шкалы (m — масштабный коэффициент, так называемый модуль шкалы). Геометрическое сложение (вычитание) отрезков шкал С и D посредством перемещения движка относительно корпуса на Л. л. заменяет операцию умножения (деления) соответствующих чисел. Кроме указанных шкал С и D, на Л. л. наносят шкалы ¹/_X(R), Х²(А, В), Х³(К),, е^х, lgX(L), шкалы значений тригонометрических функций и др.

  Л. л., прообразом которой явилась так называемая гантерова линейка (Gunter's line), была изобретена английским математиком Э. Гантером вскоре после открытия логарифмов и описана им в 1623. Это была логарифмическая шкала (линейка), на которой сложение отрезков производилось с помощью циркуля. В 1630 английский математик У. Отред заменил циркуль второй линейкой (движком). В дальнейшем усовершенствовались лишь детали: в 1650 была осуществлена идея нанесения шкалы по спирали на цилиндрической поверхности; в 30-х гг. 19 в. появился прибор, действующий по принципу линейки Гантера, выполненной в виде часов с вращающимся циферблатом (логарифмическая шкала) и подвижной стрелкой, — прообраз современных круглых Л. л. (рис. 2); в 1850 к Л. л. был добавлен бегунок, что значительно упростило работу с ней; в начале 20 в. для расчётов с повышенной точностью использовались т. н. счётные вальцы (рис. 3) — вид Л. л., шкалы которой нанесены по образующим цилиндрических вальцов; движком служил полый цилиндр с окнами, прорезанными против основных шкал; деление движка нанесено по краям этих прорезей. Современная Л. л. — простой и удобный счётный инструмент; применяется при инженерных и прочих расчётах, когда точность вычислений ограничивается 2—3 знаками (для обычной Л. л. длиной 25 см с m = 250 мм). Л. л. с m = 500—750 мм дают точность 4—5 знаков.

  Лит.: Панов Д. Ю., Счетная линейка, 21 изд., М., 1973.

Рис. 3. Счётные вальцы.

Рис. 2. Круглая логарифмическая линейка.

Рис. 1. Логарифмическая линейка.

Логарифмическая спираль

Логарифми'ческая спира'ль, плоская спиральная кривая (см. Линия).

Логарифмическая функция

Логарифми'ческая фу'нкция, функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается

  y = lnx; (1)

  её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно

  х = е^у (2)

  (е — неперово число). Т. к. e^y > 0 при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. называют функцию

  y = log_aX,

  где а > 0 (а ¹ 1) — произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция log_aX приводится к ней по формуле:

  log_ax = MInX,

  где М = 1/In а. Л. ф. — одна из основных элементарных функций; её график (рис. 1) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению

  Inx +lny = lnxy.

  Для - 1 < х , 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

  ln(1 + x) = x

  Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например

  ,

  .

  Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.

  Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью,