коэффициенты
(*)
разложения функции f (x) , имеющей период 2T , в ряд Фурье (см. Фурье ряд ). Формулы (*) называют формулами Эйлера — Фурье. Непрерывная функция f (x ) однозначно определяется своими коэффициентами Фурье. Ф. к. интегрируемой функции f (x ) стремятся к нулю при n ® ¥, причём скорость их убывания зависит от дифференциальных свойств функции f (x ). Например, если f (x ) имеет k непрерывных производных, то существует такое число с , что |an | £ c/nk , |bn | £ c/nk . Ф. к. связаны с f (x ) также следующим неравенством:
(см. Парсеваля равенство ). Ф. к. функции f (x ) по любой нормированной ортогональной на отрезке [а , b ] системе функций j1 (x ), j2 (x ),..., jn (x ),... (см. Ортогональная система функций ) равны
.
Фурье' ме'тод, метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828. Решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным однородным и краевым условиям, ищется по Ф. м. как суперпозиция решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием собственных функций и собственных значений некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по найденным собственным функциям. В частности, разложение функций в ряды и интегралы Фурье (см. Фурье ряд , Фурье интеграл ) связано с применением Ф. м. для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Например, изучение малых колебаний струны длины l , имеющей закрепленные концы, сводиться к решению уравнения 
при краевых условиях u (0, t ) = u (l , t ) = 0 и начальных условиях u (x ,0) = f (x ); u't (x , 0) = F (x ); 0 £ x £ l . Решения этого уравнения, имеющие вид X (x ) T (t ) и удовлетворяющие краевым условиям, выражаются формулой:
.
Выбирая соответствующим образом коэффициенты An и Bn
