Большая Советская Энциклопедия (ФУ)

, можно добиться того, что функция

будет решением поставленной задачи.

  Ряд важных проблем, связанных с применением Ф. м., был решен В. А. Стекловым .

Фурье преобразование

Фурье' преобразова'ние (данной функции), функция, выражающаяся через данную функцию f (x ) формулой:

,     (1)

  Если функция f (x ) чётная, то её ф. п. равно

     (2)

(косинус-преобразование), а если f (x ) — нечётная функция, то

     (3)

(синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций

,     (4)

а для нечётных функций

.     (5)

  В общем случае имеет место формула

.     (6)

  Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще соответствующей операции над f (x ). Например, Ф. п. f '(x ) является iug (u ). Если

,     (7)

то g (u ) = g₁ (u ) g₂ (u ). Для f (x + а ) Ф. п. является e^iua g (u ), а для c₁ f₁ (x ) + c₂ f₂ (x ) — функция c₁ g₁ (u ) + c₂ g₂ (u ).

  Если существует , то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. Сходимость ), причём

     (8)

(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство ) для рядов Фурье (см. Фурье ряд ). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F : f (x ) ® g (u ) является унитарным оператором в гильбертовом пространстве функций f (x ), — ¥ < x < ¥, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде

.     (9)

  При некоторых условиях на f (x ) справедлива формула Пуассона

,

находящая применение в теории тэта-функций