Большая Советская Энциклопедия (ФУ)

где t_n (x ) — произвольный тригонометрический полином порядка £ n , а функция f (x ) интегрируема с квадратом. При этом

 ,

так что функции f (x ), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование функций ).

  Для любой интегрируемой функции f (x ) коэффициенты Фурье a_n , b_n при n ® ¥ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция f (x ) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции f (x ) интегрируем, то ряд  сходится и имеет место равенство Парсеваля

.

  Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел a_n , b_n со сходящимся рядом  существует функция с интегрируемым по Лебегу квадратом, имеющая эти числа своими коэффициентами Фурье (немецкий математик Э. Фишер, венгерский математик Ф. Рис). Для интегралов в смысле Римана эта теорема неверна.

  Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f (x ) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле ). Более общо, если f (x ) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции ), то её Ф. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f (x ) непрерывна (К. Жордан ). Если f (x ) непрерывна и её модуль непрерывности w(d, f ) удовлетворяет условию , то её Ф. р. равномерно сходится (итальянский математик У. Дини, 1880).

  Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в некоторой точке x₀ зависит от поведения функции f (x ) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке x₀ функция f (x ) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f (x₀ — 0) и f (x₀ + 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке x₀ , то он сходится к значению ¹ /₂ {f (x₀ — 0) + f (x₀ + 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодической функции f (x ) сходится в каждой точке, то его сумма равна f (x ).

  Известно, что существуют непрерывные функции, Ф. р. которых расходятся в бесконечном числе точек (немецкий математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. которых расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров , 1926). Однако Ф. р. всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат верен и для функций из любого пространства L^p (—p, p) с p