Новый Мир ( № 3 2011)

dX = аX,

 

где X — функция, описывающая объем популяции, зависящий от времени, а — коэффициент прироста (коэффициент Мальтуса), а dX — скорость роста популяции . Ясно, что если в начальный момент времени объем популяции равен нолю, то и в дальнейшем объем не изменится (некому будет размножаться). Если начальное значение объема популяции больше ноля, то дальнейший рост происходит по экспоненте         (или по геометрической прогрессии).

Формальная постановка задачи имела далеко идущие последствия для очень многих областей математики, экономики и биологии. Практически сразу несколькими математиками было замечено, что исчерпывание продовольственных (и других) ресурсов влияет на сам рост популяции: чем ближе объем популяции подходит к исчерпанию ресурса, тем ее рост медленнее, он может стабилизироваться, и тогда популяция переходит в стадию гомеостаза.

В 1834 году бельгийский математик Пьер Франсуа Ферхюльст(1804 — 1849) модифицировал модель Мальтуса и предложил так называемое логистическое уравнение:

 

dX = аX — BX2,

 

где в уравнение Мальтуса добавлен еще один член: BX2 , B — коэффициент,  отражающий интенсивность воздействия внутренних сдерживающих механизмов на скорость роста популяции. Значение BX2 — прямо пропорционально числу столкновений особей между собой. В свою очередь, число столкновений особей в популяции пропорционально скорости распространения различных заболеваний, напряженности конкурентных взаимоотношений, что способствует увеличению смертности и снижению рождаемости. То есть даже если продовольственных ресурсов достаточно, всем их все равно не хватит, что очень похоже на действительность.

Если объем популяции лишь немногим больше ноля, величина BX2 мала по сравнению с Х и может быть отброшена при решении, то есть при малых Х модель Мальтуса верна с высокой степенью точности; при значениях Х , приближающихся к значениям исчерпания ресурса, величиной BX2 пренебрегать уже нельзя — этот член влияет на решение и может привести его к стабилизации, то есть система придет в стадию гомеостаза.

Модель Мальтуса была модифицирована еще много раз. В XX веке в нее был добавлен уточняющий член, ответственный за диффузию или скорость расселения по новым территориям, была предложена модель, учитывающая рост ресурса, что совершенно разумно для популяции не животных, а людей, которые могут производить ресурс, а не только его потреблять, — в этом случае стабилизация наступит на более высоком уровне.

Мрачные прогнозы Мальтуса не оправдались, он исследовал ситуацию в очень спокойный период — большой удаленности от уровня исчерпания ресурса, только в этот момент население и могло расти в геометрической прогрессии.

Сегодня демографы в своих прогнозах не используют ни уравнение Мальтуса (что естественно), ни уравнение Ферхюльста, ни даже его дальнейшие модификации. Обычно в расчетах используется так называемый метод компонент [29] (или метод передвижки возрастов): прогноз демографического роста делается для каждого возраста с шагом в один год, учитывая характерные показатели рождаемости и смертности для этого возраста. Необходимые для расчета показатели для данного возраста в данной стране обычно получают эмпирически, учитывая реальную статистику.

Попытка формального описания закона роста народонаселения является примером объективного прогноза. Но, пытаясь решать задачу прогноза, мы сталкиваемся с отчетливым «субъективным» фактором — это контроль и стимулирование рождаемости. Тогда объективный закон перестает работать. Так бывает, когда государство принимает жесткие меры по сдерживанию рождаемости, что мы можем видеть на примере Китая, где правительство стремится к реализации ограничения «один ребенок на семью».

То есть будущее зависит от настоящего, от его субъективных предпочтений.