проективной геометрии возникает из двойственности векторных пространств, имеющейся в линейной алгебре.
Пространство ? снабжено евклидовой метрикой. Если FczE— его подпространство (прямая или плоскость), то ему можно сопоставить подпространство 7г1с?, ортогональное к F. Если F— прямая, то F1 — плоскость и наоборот, и это именно то соответствие, которое определяет двойственность в проективной плоскости.
Эта двойственность может быть определена через преобразование Фурье / функций на пространстве ?. С каждым подпространством Fa ? естественно связывается его характеристическая функция ?7, (дельта–функция, сосредоточенная на F)y и нетрудно проверить, что Ог=аг±.
Итак, проективная двойственность, которая имеется в геометрии и о которой говорит о. Павел, является частным случаем общей конструкции преобразования Фурье.
Вернемся теперь к словам Флоренского о двойственности точки, точки как чувственного, сенсорного образа, как того, что мы осязаем, и линии, которую вырезает наша рука для графического произведения или скульптуры. Мы можем назвать их дополнительными в смысле квантовой теории, и эта дополнительность будет выражаться той самой математической конструкцией, которая имеется в квантовой теории в дополнительности координатного и импульсного описаний свободной частицы, т. е. преобразованием Фурье.
Далее, учитывая, что эти две картины — графическая и живописная, борются друг с другом, они противоречат друг другу, доведенные до своего логического предела, они полностью уничтожают противоположную картину, мы можем сказать, что перед нами есть, в точном смысле слова, проявление дополнительности, причем дополнительности не в микроскопическом квантовом мире, а в части человеческой жизни — искусстве, где ее наличие выглядит совсем неочевидным.
Когда о. Павел читал свои лекции, квантовая теория только зарождалась, концепции дополнительности еще не было, и мы можем только гадать, в какой форме он выразил свои идеи о связи двойственности в математике и искусстве. Мы привели здесь возможный вариант развития его идей.
Подробнее об этом и о связях этого круга вопросов со свойствами симметрии человека см.: Паршин А. Н. Дополнительность и симметрия (в печати). —142.
98
Симеон Дени Пуассон (1781 —1840)— французский математик и физик. —144.
99
«Пространство Декарта—одно из центральных философских представлений декартовской программы развития естествознания: «Пространство или внутреннее место… разнится от телесной субстанции, заключенной в этом пространстве, лишь в нашем мышлении. Разница между ними только в том, что телу мы приписываем определенное протяжение, понимая, что оно вместе с ним изменяет место всякий раз, когда оно перемещается; пространству же мы приписываем протяжение столь общее и неопределенное, что, удалив из некоторого пространства заполняющее его тело, мы не полагаем, что переместили и протяжение этого пространства, которое, на наш взгляд, пребывает неизменным, пока оно обладает той же величиной и фигурой и не изменяет положения по отношению к внешним телам, которыми мы определяем это пространство» (Начала философии//Декарт Р. Избранные произведения. М., 1950. С. 469). Декартовский термин «протяженность» долгое время был синонимом «пространственности» и противопоставлялся «мышлению», как внешнее — внутреннему, как материальное — идеальному и духовному. Концепция пространственности П. А. Флоренского, напротив, направлена на то, чтобы вернуть пространству его символические функции и духовное значение, которыми оно обладало в средневековом искусстве и мировоззрении. —145.
100
Пьер Симон Лаплас (1749—1827) —французский астроном, математик и физик. —146.
101
Ниже карандашом приписка рукой Флоренского: «Далее — математическое разъяснение относит (ельно) урав(нения) Пуассона (нрзб.)». —146
102
См.: Федр, 265с//Платон. Соч.: В 3 т. Т. 2. М., 1970. С. 205. — 147.
103
Соотношение «композиции» и «конструкции» или, говоря нынешним языком, плана выражения и плана содержания художественных образов — ключевая тема творческих поисков и теоретических дискуссий в искусстве начала 20–х годов. Лозунгом «от изображения — к конструкции» производственники и конструктивисты выражали свое отрицание таких традиционных художественных ценностей, как изобразительность, предметность, эмоциональная выразительность, духовная осмысленность. Допускалась возможность отмирания основанного на них искусства, и утверждалась значимость иных ценностей — целесообразности, функциональности, конструктивности, организованности, произведенности, сделанности и т. д. (Сидорина Елена. Русский конструктивизм: истоки, идеи, практика. М., 1995).
Теоретические взгляды Флоренского, отраженные в этих параграфах, в какой?то мере складывались как интеллектуальная реакция автора на ту проблемную ситуацию, которая имела место в художественных кругах Москвы и не могла не привлечь внимания его слушателей. Однако понимание Флоренским строения художественного образа, места конструкции и композиции в нем основывалось на признании самоценного значения красоты и коренной связи между пространстве нностью и образностью в искусстве и природе. — 74
104
На полях рукописи карандашная запись рукой П. А. Флоренского: «Орнамент. Гипертрофия комп (озиции) и констр(укции). Машина». — 152.
