Информатика: аппаратные средства персонального компьютера

Арифметические операции в двоичной системе счисления основаны на таблицах сложения, вычитания и умножения одноразрядных двоичных чисел.

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос единицы в старший разряд, при вычитании 0–1 производится заем из старшего разряда, в таблице «Вычитание» этот заем обозначен 1 с чертой над цифрой.

Ниже приведены примеры выполнения арифметических операций над числами, представленными в различных системах счисления:

Арифметические операции над целыми числами, представленными в различных системах счисления, достаточно просто реализуются с помощью программ Калькулятор и MS Excel.

2.3. Представление чисел в компьютере

Числовые данные обрабатываются в компьютере в двоичной системе счисления. Числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, т. е. в виде последовательности нулей и единиц, и могут быть представлены в формате с фиксированной или плавающей запятой.

Целые числа хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. При таком формате представления чисел для хранения целых неотрицательных чисел отводится регистр памяти, состоящий из восьми ячеек памяти (8 бит). Каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда и вне разрядной сетки. Например, число 11001101₂ будет храниться в регистре памяти следующим образом:

Максимальное значение целого неотрицательного числа, которое может храниться в регистре в формате с фиксированной запятой, можно определить из формулы: 2ⁿ – 1, где п – число разрядов числа. Максимальное число при этом будет равно 2⁸ – 1 = 255₁₀ = 11111111₂и минимальное 0₁₀ = 00000000₂. Таким образом, диапазон изменения целых неотрицательных чисел будет находиться в пределах от 0 до 255₁₀.

В отличие от десятичной системы в двоичной системе счисления при компьютерном представлении двоичного числа отсутствуют символы, обозначающие знак числа: положительный (+) или отрицательный (-), поэтому для представления целых чисел со знаком в двоичной системе используются два формата представления числа: формат значения числа со знаком и формат дополнительного кода. В первом случае для хранения целых чисел со знаком отводится два регистра памяти (16 бит), причем старший разряд (крайний слева) используется под знак числа: если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное, то – 1. Например, число 536₁₀ = 0000001000011000₂ будет представлено в регистрах памяти в следующем виде:

а отрицательное число -536₁₀ = 1000001000011000₂ в виде:

Максимальное положительное число или минимальное отрицательное в формате значения числа со знаком (с учетом представления одного разряда под знак) равно 2^n-1 – 1 = 2^16-1 – 1 = 2¹⁵ – 1 = 32767₁₀ = 111111111111111₂ и диапазон чисел будет находиться в пределах от -32767₁₀ до 32767.

Наиболее часто для представления целых чисел со знаком в двоичной системе применяется формат дополнительного кода, который позволяет заменить арифметическую операцию вычитания в компьютере операцией сложения, что существенно упрощает структуру микропроцессора и увеличивает его быстродействие.

Для представления целых отрицательных чисел в таком формате используется дополнительный код, который представляет собой дополнение модуля отрицательного числа до нуля. Перевод целого отрицательного числа в дополнительный код осуществляется с помощью следующих операций:

1)  модуль числа записать прямым кодом в п (п = 16) двоичных разрядах;

2)  получить обратный код числа (инвертировать все разряды числа, т. е. все единицы заменить на нули, а нули – на единицы);

3)  к полученному обратному коду прибавить единицу к младшему разряду.

Например, для числа -536₁₀ в таком формате модуль будет равен 0000001000011000₂, обратный код – 1111110111100111, а дополнительный код – 1111110111101000. Проверим полученное значение дополнительного кода с помощью калькулятора. Для этого введем значение модуля числа -536₁₀, т. е. число 536₁₀, и с помощью опционной кнопки Bin преобразуем это число, представленное в десятичной системе счисления, в двоичную систему, предварительно установив опционную кнопку 2 байта. Нажав кнопку Not калькулятора, получим обратный код числа, а прибавив к обратному коду двоичную единицу,  – дополнительный код. Окончательный результат получим в поле окна программы Калькулятор (рис. 2.6). Можно поступить еще проще: набрав на калькуляторе число -536₁₀ и активизировав кнопку Bin, получить дополнительной код этого числа в двоичной системе счисления.

Рис. 2.6. Результат получения дополнительного кода

Необходимо помнить, что дополнительный код положительного числа – само число.

Для хранения целых чисел со знаком помимо 16-разрядного компьютерного представления, когда используются два регистра памяти (такой формат числа называется также форматом коротких целых чисел со знаком), применяются форматы средних и длинных целых чисел со знаком. Для представления чисел в формате средних чисел используется четыре регистра (4 х 8 = 32 бит), а для представления чисел в формате длинных чисел – восемь регистров (8 х 8 = 64 бита). Диапазоны значений для формата средних и длинных чисел будут соответственно равны: -(2³¹ – 1) … + 2³¹ – 1 и - (2⁶³-1) … + 2⁶³ – 1.

Компьютерное представление чисел в формате с фиксированной запятой имеет свои преимущества и недостатки. К преимуществам относятся простота представления чисел и алгоритмов реализации арифметических операций, к недостаткам – конечный диапазон представления чисел, который может быть недостаточным для решения многих задач практического характера (математических, экономических, физических и т. д.).

Вещественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) обрабатываются и хранятся в компьютере в формате с плавающей запятой. При таком формате представления числа положение запятой в записи может изменяться. Любое вещественное число Къ формате с плавающей запятой может быть представлено в виде:

где А – мантисса числа; h – основание системы счисления; р – порядок числа.

Выражение (2.7) для десятичной системы счисления примет вид:

для двоичной —

для восьмеричной —

для шестнадцатеричной —

и т. д.

Такая форма представления числа также называется нормальной. С изменением порядка запятая в числе смещается, т. е. как бы плавает влево или вправо. Поэтому нормальную форму представления чисел называют формой с плавающей запятой. Десятичное число 15,5, например, в формате с плавающей запятой может быть представлено в виде: 0,155 · 10²; 1,55 · 10¹; 15,5 · 10⁰; 155,0 · 10^-1; 1550,0 · 10^-2 и т. д. Эта форма записи десятичного числа 15,5 с плавающей запятой не используется при написании компьютерных программ и вводе их в компьютер (устройства ввода компьютеров воспринимают только линейную запись данных). Исходя из этого выражение (2.7) для представления десятичных чисел и ввода их в компьютер преобразовывают к виду