Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

большинство из них, естественно, хотели бы видеть более гладкую кривую баланса. Принцип «35-55%» справедлив как для полного оптимального f, так и для динамического дробного f, но он не работает в случае статического дробного f.

Создание буферного счета до востребования позволяет торговать математи­чески оптимальным способом (при динамическом оптимальном f), кроме того, такой подход позволяет осуществлять переразмещение методом усреднения, ког­да деньги переводятся на буферный счет, и регулярно снимать определенную сум­му со счета. Разумеется, сумма, которую мы периодически будем снимать с буферного счета, должна быть меньше, чем наименьшая сумма, переведенная с торгово­го счета на буферный. Например, если мы используем счет 500 000 долларов и снимаем 1% в месяц, начиная с 20%-ого активного счета, тогда наимень­шее снятие с торгового счета должно быть 0,01 * 500 000 * (1 - 0,2) = 0,01 * 500 000 * 0,8 = 4000 долларов. Таким образом, сумма, которую мы будем снимать с буферного счета, должна быть меньше 4000 долларов. Отме­тим, что в качестве буферного счета может использоваться неактивный счет.

Прежде чем перейти к четвертому методу размещения активов, скажем еще несколько слов об особенностях переразмещения. При торговле опти­мальной фиксированной долей, когда баланс увеличивается, увеличивается и количество контрактов, при падении баланса количество контрактов уменьшается. Такой подход позволяет добиться максимального геометричес­кого роста.

Зачем переразмещать?

Переразмещение, как может показаться, противоречит нашим устремлени­ям, поскольку оно приводит к уменьшению баланса после выигрыша и к увеличению баланса активной части после периода проигрыша по счету. Переразмещение является компромиссом между теорией и практикой, а рассматриваемые методы позволяют нам использовать этот компромисс максимально эффективно.

В идеале вообще не следует проводить переразмещение. Ваш небольшой счет в 10 000 долларов может вырасти до 10 миллионов долларов без переразмещения, и вы вполне могли бы пересидеть проигрыш, который понизил бы счет 10 милли­онов до 50 000 долларов перед новым скачком до 20 миллионов долларов. Если бы активный баланс уменьшился до 1 доллара, вы все еще смогли бы торговать дроб­ным контрактом («микроконтрактом»). В теории все это возможно, но на практи­ке следует производить переразмещение по достижении некоторой точки вверху или внизу баланса. При переразмещении вы как бы начинаете торговать заново (но с другим уров­нем баланса). В дальнейшем, благодаря динамическому дробному f, в промежутках между переразмещениями торговля сама будет «двигать» дробное f.

Страхование портфеля — четвертый метод переразмещения

Предположим, вы управляете фондом акций. Рисунок 8-2 демонстрирует типич­ную стратегию страхования портфеля, также известную как динамическое хеджи­рование. Пусть текущая стоимость портфеля равна 100 долларам за акцию. Стан­дартный портфель, он изображен прямой линией, в точности следует за рынком акций. Застрахованный портфель изображен пунктирной линией. Отметьте, что

пунктирная линия проходит ниже прямой линии, когда портфель находится на уровне или выше своей первоначальной стоимости (100). Величина, на которую пунктирная линия ниже прямой линии, отражает стоимость страхования портфе­ля. Когда стоимость портфеля уменьшается, страхование портфеля ограничивает падение на некотором уровне (в данном случае 100) за вычетом расходов на осу­ществление стратегии.

Страхование портфеля соответствует покупке пут-опциона по портфелю. Допустим, фонд, которым вы управляете, состоит только из 1 акции стоимо­стью 100 долларов. Покупка пут-опциона на эту акцию с ценой исполнения 100 долларов при цене опциона 10 долларов соответствует пунктирной ли­нии на рисунке 8-2. Худшее, что может произойти в данном случае с портфе­лем (1 акция и 1 пут-опцион), состоит в том, что по истечении опциона вы продадите акцию за 100 долларов, но потеряете 10 долларов (стоимость этого опциона). Таким образом, минимальная стоимость портфеля будет 90 долла­ров, независимо от того, насколько упадет базовая акция. При росте вы по­несете некоторые убытки из-за того, что стоимость портфеля уменьшится на стоимость опциона.

Если сопоставить рисунок 8-2 с фундаментальным уравнением торговли и оце­ночным TWR из уравнения (1.19в), становится ясно, что в асимптотическом смыс­ле застрахованный портфель лучше незастрахованного. Другими словами, если вы умны настолько, насколько глупа ваша худшая ошибка, то, застраховав портфель, вы ограничите последствия такой ошибки.

Обратите внимание, что длинная позиция по колл-опциону дает тот же ре­зультат, что и длинная позиция по базовому инструменту совместно с длинной позицией по пут-опциону с той же ценой исполнения и датой истечения, что и у колл-опциона. Когда мы говорим о том же результате, имеются в виду эквивален­тные соотношения риск/выигрыш разных портфелей. Таким образом, пунктир­ная линия на рисунке 8-2 может также представлять длинную позицию по колл-опциону с ценой исполнения 100.

Посмотрим, как работает динамическое хеджирование при страховании портфеля. Допустим, вы, как управляющий фондом, приобретаете 100 акций по цене 100 долларов за акцию. Давайте смоделируем колл-опцион по этой ак­ции. Сначала определим минимальный ценовой уровень рассматриваемой ак­ции. Например, установим его на 100. Далее определим дату истечения этого гипотетического опциона. Пусть дата истечения будет последним днем теку­щего квартала.

Теперь рассчитаем дельту колл-опциона при цене исполнения 100 и выбран­ной дате истечения. Вы можете использовать уравнение (5.05) для поиска дельты фондового колл-опциона (можно использовать дельту для любой модели опцио­нов, мы же будем использовать модель фондовых опционов Блэка-Шоулса). До­пустим, дельта равна 0,5, т. е. в данный актив следует инвестировать 50% счета. Таким образом, вам следует купить только 50 акций, а не 100 акций, которые вы

бы купили, если бы не страховали портфель. Если цена акции будет расти, то же будет происходить с дельтой и количеством акций. Верхняя граница дельты равна единице, что соответствует инвестированию 100% средств. Если цена акции будет понижаться, то же будет происходить с дельтой и размером позиции по акциям. Нижняя граница дельты равна 0 (при этом дельта пут-опциона равна -1), и в этой точке следует полностью закрыть позицию по акциям.

Рисунок 8-2 Страхование портфеля

На практике портфельные менеджеры используют неагрессивные методы ди­ намического хеджирования, что предполагает отсутствие торговли самими ценными бумагами портфеля. Стоимость портфеля зависит от текущей дельты и модели и регулируется с помощью фьючерсов, а иногда пут-опционов. Плю­сом использования фьючерсов является низкая стоимость трансакций. Корот­кая продажа фьючерсов против портфеля эквивалентна продаже части порт­феля. При падении портфеля продается больше фьючерсных контрактов, ког­да же стоимость портфеля растет, эти короткие позиции закрываются. Потери по портфелю, когда приходится закрывать короткие фьючерсные позиции при росте цен на акции, являются издержками по страхованию портфеля и эквива­лентны стоимости гипотетических смоделированных опционов. Преимуще­ство динамического хеджирования состоит в том, что оно позволяет с самого начала точно рассчитать издержки. Менеджерам, применяющим такую стра­тегию, это позволяет сохранить весь портфель ценных бумаг, в то время как размещение активов регулируется посредством фьючерсов и/или опционов. Предложенный неагрессивный метод, основанный на использовании фьючер­сов и/или опционов, позволяет разделить размещение активов и активное уп­равление портфелем. При страховании вы должны постоянно регулировать портфель с учетом текущей дельты, т. е. с определенной периодичностью, например, каждый день вы должны вводить в модель ценообразования опционов текущую сто­имость портфеля, время до даты истечения, уровень процентной ставки и волатильность портфеля для определения дельты моделируемого пут-опциона. Если к дельте, которая может принимать значения 0 и -1 прибавить единицу, то вы получите соответствующую дельту колл- опциона, которая будет коэф­фициентом хеджирования, т.е. долей вашего счета, которую следует инвести­ровать в фонд. Допустим, коэффициент хеджирования в настоящий момент составляет 0,46. Размер фонда, которым вы управляете, эквивалентен 50 фьючерсным контрактам S&P. Так как вы хотите инвестировать только 46% средств, вам надо изъять ос­тальные 54%, т.е. 27 контрактов. Поэтому при текущей стоимости фонда, при данных уровнях процентной ставки и волатильности фонд должен иметь корот­кие позиции по 27 контрактам S&P одновременно с длинной позицией по акци­ям. Так как