Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

предположим, что оптимальный вес данного компонента в портфеле равен 1,25, поэтому вы будете торговать одной единицей компо­нента на каждые 4000 долларов ($5000/1,25) баланса счета. Как только ком­понент столкнется с наибольшим проигрышем, весь активный баланс на счете будет обнулен, если прибылей в других рыночных системах не хватит для сохранения активного баланса. Рассмотренная проблема наиболее актуальна для систем, которые редко гене­рируют сделки. Если бы у нас были две рыночные системы с отрицательной кор­реляцией и положительным ожиданием, необходимо было бы открывать беско­нечное количество контрактов на рынке. Когда один из компонентов проигрыва­ет, другой выигрывает равную или большую сумму. Таким образом, мы получаем прибыль в каждой игре, однако только в том случае, когда рыночные системы ве­дут игру одновременно. Рассматриваемая же торговля аналогична гипотетичес­кой ситуации, когда один из компонентов в игре не активен, но используется дру­ гая рыночная система с бесконечным числом контрактов. Проигрыш может быть катастрофическим. Проблему можно решить следующим образом: разделите единицу на наи­больший вес компонента портфеля и используйте полученное значение в каче­стве верхней границы активного баланса, если оно меньше, чем значение, най­денное из уравнения (8.08). В таком случае, если в будущем произойдет проиг­ рыш той же величины, что и наибольший проигрыш (на основе которого рассчитано f), мы не потеряем все деньги. Например, наибольший вес компо­нента в нашем портфеле составляет 1,25. Если значение из уравнения (8.08) бу­дет больше 1 / 1,25 = 0,8, следует использовать 0,8 в качестве верхней грани­цы для доли активного баланса. Если первоначальная доля активного баланса небольшая, вышеописанная проблема может и не возникнуть, однако более агрессивному трейдеру следует всегда принимать ее во внимание. Альтернативное решение состоит в введении дополнительных ограничений в матрице портфеля (например, для каждой ры­ночной системы можно ограничить максимальные веса единицей и ввести допол­нительные ограничения по залоговым средствам). Подобные дополнительные ог­раничения линейного программирования могут помочь агрессивному трейдеру. но решить такую матрицу будет достаточно сложно. Для заинтересованных чита­телей делаю ссылку на Чилдресса.

Ротация рынков

Профессиональные трейдеры, как правило, отслеживают большое количество рынков, выбирая те, которые, по их мнению, являются в настоящий момент наи­более подходящими для данных систем. Например, некоторые трейдеры отсле­живают волатильность по всем фьючерсным рынкам и торгуют только на тех, где волатильность превышает некоторое значение. Иногда имеет смысл торговать на нескольких рынках, иногда вообще прекратить торговлю. Рынки постоянно из­меняются, что создает дополнительные проблемы для портфельных менеджеров. Каким образом можно реагировать на эти изменения, сохраняя ваш портфель оптимальным? Ответ, на самом деле, довольно прост: каждый раз, когда рынок добавляется в портфель или удаляется из него, необходимо рассчитывать новый неограничен­ный геометрический оптимальный портфель (алгоритм расчета показан в этой главе). Также необходимо принимать во внимание любые изменения размеров существующих позиций и учитывать новые добавленные или удаленные рыноч­ные системы. Таким образом, следует использовать портфель, в котором компоненты посто­янно меняются. Целью портфельного менеджера в этом случае будет создание неограниченного геометрического оптимального портфеля и поддержка посто­янной величины неактивного баланса. Именно такой подход будет оптимальным в асимптотическом смысле. Если вы используете подобную технику, может возникнуть еще одна пробле­ма. Возьмем два высоко коррелированных рынка, например золото и серебро. Те­перь представьте, что ваша система торгует так редко, что сделок на двух рынках в один и тот же день не происходит. Когда вы будете определять коэффициенты корреляции дневных изменений баланса, может оказаться, что коэффициент корреляции между золотом и серебром близок к нулю. Однако если в будущем вы будете торговать на обоих рынках одновременно, они, скорее всего, будут иметь высокую положительную корреляцию. Для решения вышеописанной проблемы следует корректировать коэффициен­ты корреляции, причем их следует изменять в большую, а не меньшую сторону Допустим, вы получили коэффициент корреляции между облигациями и соевыми бобами, равный нулю, но чувствуете, что он должен быть ниже (например - 0,25). Не следует уменьшать коэффициенты корреляции, так как более низкие значения приводят к увеличению размера позиции. Одним словом, если уж ошибаться в ко­эффициентах корреляции, то в большую сторону Ошибка, связанная с увеличени­ем коэффициентов корреляции, сместит портфель влево от пика кривой f, в то вре­мя как уменьшение сместит его вправо. Некоторые трейдеры в своих рыночных системах используют фильтры, благо­даря которым в определенный момент сделки совершаются только на одном рынке. Если фильтр работает и понижает проигрыш на основе одной единицы, тогда f (оптимальное для отфильтрованных сделок) для всей серии сделок до фильтро­ вания будет выше (a f$ ниже). Если трейдер использует оптимальное f, получен­ное по неотфильтрованным сделкам, для отфильтрованных сделок, он окажется на уровне дробного f по отфильтрованным сериям и, следовательно, не сможет получить геометрический оптимальный портфель. С другой стороны, если трей­дер применяет оптимальное f по отфильтрованным сериям, он может получить геометрический оптимальный портфель, но столкнуться с проблемой больших проигрышей при оптимальном f.

С точки зрения управления капиталом фильтры не всегда эффективны. Фильт­ры работают (уменьшают проигрыш на основе одной единицы) только потому, что они позволяют трейдеру находиться на уровне дробного оптимального f.

Можно утверждать, что фильтры дают преимущество, если ответ из фунда­ментального уравнения торговли по отфильтрованным сделкам с использова­нием оптимального f, полученного по всем сделкам, больше значения, полу­ченного по всем сделкам с использованием того же оптимального f; при этом следует иметь в виду, что отфильтрованных сделок меньше (N меньше), чем не­отфильтрованных.

Резюме

Торговля фиксированной долей счета дает наибольшую отдачу в асимптотичес­ком смысле, т.е. максимизирует отношение потенциальной прибыли к потенци­альному убытку Когда известно значение оптимального f, можно преобразовать дневные изменения баланса на основе одной единицы в HPR, определить ариф­метическое среднее HPR и стандартное отклонение полученных HPR, а также рассчитать коэффициенты корреляции HPR между любыми двумя рыночными системами. Далее мы должны использовать эти параметры для определения опти­мальных весов оптимального портфеля (когда используется рычаг (leverage), вес и количество не одно и то же). Затем значения f следует разделить на соответствую­щие веса. В результате, мы получаем новые значения f, которые позволяют до­биться наибольшего геометрического роста, принимая во внимание веса и взаим­ные корреляции рыночных систем. Наибольший геометрический рост достигается при использовании весов, сумма которых не ограничена, причем разность среднего арифметического HPR и стандартного отклонения HPR, возведенного в квадрат, должна быть равна единице [Уравнение (7.06в)]. Вместо «разбавления» (которое сдвигает нас влево на неограниченной эффективной границе), как в случае стратегии статического дробного f, можно использовать портфель при полном f, задей-ствуя только часть средств счета. Такой метод называется стратегией динами­ческого дробного f. Оставшаяся часть средств (неактивный баланс) в торговле не используется. Так как торговля активной частью происходит на оптимальных уровнях f, актив­ный баланс может довольно сильно колебаться. В результате, при некотором зна­чении баланса или в некоторый момент времени, вы, вероятно, захотите (возмож­но, просто под воздействием эмоций) переразместить средства между активной и неактивной частями. Мы рассмотрели четыре метода переразмещения, хотя, ко­нечно же, могут использоваться и другие методы, возможно, более подходящие для вас:

1. Полезность инвестора.

2. Планирование сценариев.

3. Усреднение.

4. Страхование портфеля.

Четвертый метод, страхование портфеля, или динамическое хеджирование, при­сущ любой стратегии динамического дробного f, но его можно также использо­вать и как метод переразмещения.

При торговле неограниченным геометрическим оптимальным портфелем можно столкнуться с требованием довнесения залога. Подобную проблему можно решить, задав верхний предел отношения