Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

ожиданием дальнейшее увеличение общего оборота работает против вас. Эта точка является функцией как прибыльности си­стемы, так и ее стабильности (то есть ее средним геометрическим), так как вы ре­ инвестируете прибыли обратно в систему. Когда два человека сталкиваются с од­ной и той же последовательностью благоприятных ставок или сделок, и один ис­пользует оптимальное f, а другой использует любую другую систему управления деньгами, математическим фактом является то, что отношение счета держащего пари на основе оптимального f к счету другого человека будет увеличиваться с те­чением времени с все более высокой вероятностью. Через бесконечно долгое вре­мя держащий пари на основе оптимального f будет иметь бесконечно большее со­стояние, чем его оппонент, использующий любую другую систему управления деньгами, с вероятностью, приближающейся к 1. Более того, если участник пари ставит своей целью достижение определенного капитала, и он стоит перед серией благоприятных ставок или сделок, то ожидаемое время достижения этой цели бу­дет короче с оптимальным f, чем с любой другой системой ставок.

Давайте вернемся и рассмотрим последовательность ставок (сделок):

Мы уже знаем, что формула Келли не применима к этой последовательности, так как величины выигрышей и проигрышей отличаются. Ранее в этой главе мы усред­нили выигрыши и проигрыши и использовали эти средние значения в формуле Келли (так ошибочно поступают многие трейдеры). В результате, мы получили зна­чение f= 0,16. Было отмечено, что применение формулы Келли в данном случае некорректно и не дает нам оптимального f. Формула Келли работает только при постоянных выигрышах и проигрышах. Вы не можете усреднить торговые выигры­ши и проигрыши и получить истинное оптимальное f, используя формулы Келли. Наибольшее значение TWR при такой последовательности ставок (сделок) достигается при 0,24 (т.е. 1 доллар на каждые 71 доллар на счете). Это оптималь­ный геометрический рост, которого можно достичь при данной последователь­ности ставок (сделок) при торговле фиксированной долей. Давайте посмотрим, как меняется TWR при повторении этой последовательности ставок от 1 до 100 при f = 0,16 и f = 0,24. Мы видим, что использование значения f, которое ошибочно получено из формулы Келли, дало только 37,5% дохода, полученного при оптимальном f = 0,24 после 900 ставок или сделок (100 циклов из серий по 9 сделок). Другими словами, оптимальное f= 0,24, которое только на 0,08 отлича­ется от 0,16 (смещено от оптимального на 50%), принесло почти на 167% прибы­ли больше, чем f = 0,16 за 900 ставок!

Давайте повторим эту последовательность сделок еще 11 раз, чтобы в общей сложности получить 999 сделок. Теперь TWR для f=0,16 составляет 8563,302 (даже меньше, чем при f= 0,24 за 900 сделок), а TWR для f==0,24 составляет 25451,045. При 999 сделках эффективность при f= 0,16 составляет только 33,6% от f= 0,24, то есть прибыль при f== 0,24 на 197% больше, чем при f= 0,16!

Как видите, использование оптимального f не дает большого преимущества на коротком временном отрезке, но с течением времени оптимальное f оказыва­ет все большее влияние. Дело в том, что при торговле с оптимальным f надо дать программе время, а не ждать чуда на следующий день. Чем больше времени (то есть ставок или сделок) проходит, тем больше становится разница между стратегией оптимального f и любой другой стратегией управления деньгами.

Средняя геометрическая сделка

Трейдеру может быть интересно рассчитать свою среднюю геометрическую сделку (то есть среднюю прибыль, полученную на контракт за сделку), допуская, что прибыли реинвестируются, и торговать можно дробными контрактами. Это и есть математическое ожидание, когда торговля ведется на основе фиксирован­ной доли. В действительности это приблизительный доход системы за сделку при использовании фиксированной доли счета. (На самом деле средняя геометрическая сделка является математическим ожиданием в долларах на контракт за сделку. Вычитая из среднего геометрического единицу, вы получите математическое ожидание. Среднее геометрическое 1,025 соответствует математическому ожида­нию в 2,5% за сделку). Многие трейдеры смотрят только на среднюю сделку ры­ночной системы, чтобы понять, стоит ли торговать по этой системе. Однако при принятии решения следует обращать внимание именно на среднюю геометри­ческую сделку (GAT).

где G = среднее геометрическое - 1;

f = оптимальная фиксированная доля.

(Разумеется, наибольший убыток всегда будет отрицательным числом).

Допустим, что система имеет среднее геометрическое 1,017238, наибольший про­игрыш составляет 8000 долларов и оптимальное f = 0,31. Наша геометрическая средняя сделка будет равна:

GAT = (1,017238 - 1) * (-$8 000 /-0,31) = 0,017238 * $25 806,45= $444,85

Почему необходимо знать оптимальное f вашей системы

График на рисунке 1-6 еще раз демонстрирует важность использования опти­мального f в торговле фиксированной долей. Вспомните f для игры с броском мо­неты 2:1 (рисунок 1-1).

Давайте увеличим выигрыш с 2 до 5 единиц (рисунок 1-6). В этом случае опти­мальное f = 0,4, то есть ставка в 1 доллар на каждые 2,50 доллара на счете. После 20 последовательностей +5,-1 (40 ставок) ваш счет в 2,50 доллара вырастет до 127,482 доллара, и все благодаря оптимальному f. Теперь посмотрим, что произой­дет, если вы ошибетесь с оптимальным f на 0,2. При значениях f= 0,6 и f= 0,2 вы не заработаете даже десятой части того, что заработаете при 0,4. Эта ситуация (50/50, 5 к 1) имеет математическое ожидание (5 * 0,5) + (1 * (-0,5)) = 2, однако если вы будете делать ставки, используя значение f больше 0,8, то потеряете деньги.

Здесь надо отметить два момента. Первый состоит в том, что когда мы обсуж­даем TWR, то допускаем использование дробных контрактов. Например, вы мо­жете торговать 5,4789 контрактами, если именно это требуется в какой-либо мо­мент. Расчет TWR допускает дробные контракты, чтобы его значение всегда было одинаково для данного набора торговых результатов вне зависимости от их после­довательности. Вы можете усомниться в правильности такого подхода, поскольку при реальной торговле это невыполнимо. В реальной жизни вы не можете торго­вать дробными контрактами. Этот аргумент правильный. Однако мы оставим по­добный расчет TWR, потому что таким образом мы представим средний TWR для всех возможных начальных счетов. Если вы хотите, чтобы размеры всех ставок были целыми числами, тогда становится важна величина начального счета. Одна­ко если бы вы должны были усреднить TWR со всех значений возможных началь­ных счетов, используя только ставки в целых числах, то достигли бы того же зна­чения TWR, которое мы рассчитали при дробных ставках. Поэтому значение TWR, которое рассчитано здесь, более реально, чем то, которое мы рассчитывали бы при ставках в целых числах, так как оно представляет огромное количество результатов с различными начальными счетами. Разумеется, чем выше баланс счета, тем ближе будут результаты торговли целыми и дробными контрактами. Пределом здесь является счет с бесконечным капиталом, где ставка в целых чис­лах и дробная ставка в точности равны.

Таким образом, чем ближе вы находитесь к оптимальному f, тем лучше. Также можно сказать, что чем больше счет, тем больше будет эффект от оптимального f. Так как оптимальное f позволяет счету расти с максимально возможной скорос­тью, мы можем заявить, что оптимальное f будет работать все лучше и лучше при увеличении вашего счета.

Рисунок 1-6 20 последовательностей +5, - 1

Графики (рисунки 1-1 и 1-6) имеют несколько других интересных особеннос­тей. Во-первых, ни при какой другой фиксированной доле вы не заработаете боль­ше денег, чем при оптимальном/. Другими словами, в предыдущем примере с иг­рой 5:1 не стоит ставить, например, 1 доллар на каждые 2 доллара на счете. Вы заработаете больше, если будете ставить 1 доллар на каждые 2,50 доллара на сче­те. Не стоит рисковать больше, чем позволяет оптимальное/, — это может доро­го обойтись.

Очевидно, что чем больше капитализация счета, тем более точно вы сможете придерживаться оптимального f, так как сумма в долларах, требуемая под один контракт, составит меньший процент от