Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

-$0,10
Проигрыш	-$1,00	Проигрыш	-$1,10	Проигрыш	-$2,10

Математическое ожидание равно:

МО = 2,9 * 0,25 + 0,9 * 0,25 - 0,1 * 0,25 - 2,1 * 0,25 = 0,725 + 0,225 - 0,025 - 0,525 =0,4

Математическое ожидание равно 0,40 доллара. Оптимальное f в этой последова­тельности составляет 0,26, или 1 ставка на каждые 8,08 доллара на балансе счета (так как наибольший проигрыш здесь равен - 2,10 доллара). Таким образом, мак­симальный исторический проигрыш может быть 26% (примерно такой же, что и в простой игре с положительным математическим ожиданием). Однако в этом примере происходит сглаживание уменьшении баланса. Если бы мы просто рас­сматривали игру с положительным ожиданием, то третья последовательность принесла бы нам максимальный проигрыш. Так как мы комбинируем две систе­мы, третья последовательность более ровная. Это единственный плюс. Среднее

геометрическое здесь равно 1,025, то есть скорость роста в два раза меньше, чем при простой игре с положительным математическим ожиданием. Мы делаем 4 ставки (когда могли бы сделать только 2 ставки в простой игре с положительным ожиданием), а больше не зарабатываем:

1,0607^2= 1,12508449

1,025^4= 1,103812891

Очевидно, что при диверсификации вы должны использовать такие рыночные системы, которые имеют самую низкую корреляцию прибылей друг к другу, и же­лательно отрицательную корреляцию. Вы должны понимать, что уменьшение ба­ланса худшего случая едва ли будет смягчено диверсификацией, хотя вы сможете смягчать многие более слабые уменьшения баланса. Наибольшая польза диверси­фикации состоит в улучшении среднего геометрического. Метод поиска оптималь­ного портфеля путем рассмотрения чистых дневных HPR упраздняет необходи­мость смотреть за тем, сколько сделок в каждой рыночной системе произошло. Использование этого метода позволит вам наблюдать только за средним геомет­рическим независимо от частоты сделок. Таким образом, среднее геометрическое становится единственной статистической оценкой того, насколько прибыльным является портфель. Главная цель диверсификации — это получение наивысшего среднего геометрического.

Как разброс результатов затрагивает геометрический рост

После того как мы признали тот факт, что, хотим мы того или нет, сознательно или нет, количество для торговли определяется по уровню баланса на счете, можно рассматривать HPR, а не денежные суммы. Таким образом, мы прида­дим управлению деньгами определенность и точность. Мы сможем проверить наши стратегии управления деньгами, составить правила и сделать определен­ные выводы. Посмотрим, как связан геометрический рост и разброс результа­тов (HPR).

В этой дискуссии мы для простоты будем использовать пример азартной игры. Рассмотрим две системы: систему А, которая выигрывает 10% времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 28 к 1, и систему В, которая выигрывает 70% времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 1,9 к 1. Наше математическое ожидание на единицу ставки для А равно 1,9, а для В равно 0,4. Поэтому мы мо­жем сказать, что для каждой единицы ставки система А выиграет, в среднем, в 4,75 раз больше, чем система В. Но давайте рассмотрим торговлю фиксирован­ной долей. Мы можем найти оптимальные f, разделив математическое ожидание на отношение выигрыш/проигрыш. Это даст нам оптимальное f = 0,0678 для А и 0,4 для В. Средние геометрические для каждой системы при соответствующих значениях оптимальных f составят:

А= 1,044176755

В= 1,0857629

Как видите, система В, несмотря на то что ее математическое ожидание пример­но в четыре раза меньше, чем системы А, приносит почти в два раза больше за ставку (доходность 8,57629% за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным f), чем система А (которая приносит 4,4176755% за ставку, когда вы реинвести­руете с оптимальным f).

Система	% Выигрышей	Выигрыш: Проигрыш	МО	f	Среднее геометрическое
А	10	28: 1	1,9	0,0678	1,0441768
В	70	1,9:1	0,4	0,4	1,0857629

Проигрыш 50% по балансу потребует 100% прибыли для возмещения; 1,044177 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 16,5, то есть для возме­щения 50% проигрыша для системы А потребуется более 16 сделок. Сравним с сис­темой В, где 1,0857629 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 9, то есть для системы В потребуется 9 сделок для возмещения 50% проигрыша.

В чем здесь дело? Не потому ли все это происходит, что система В имеет про­цент выигрышных сделок выше? Истинная причина, по которой В функциони­рует лучше А, кроется в разбросе результатов и его влиянии на функцию роста. Большинство трейдеров ошибочно считают, что функция роста TWR задается следующим образом:

где R = процентная ставка за период (например, 7% = 0,07);

N = количество периодов.