которые выпадают при этом, может равняться 0, 1 или 2. Поскольку получается три исхода, Д'Аламбер решил, что шансы каждого равны 1 из 3. Однако он ошибся.
Одним из серьезнейших недостатков работы Кардано было то, что он не предпринял систематического анализа разных способов, путем которых ряд исходов, таких как подбрасывание монет, могут произойти. Как мы увидим в следующей главе, этого анализа не сделал никто вплоть до следующего столетия. В то время как такие события, как подбрасывания двух монет, не отличаются сложностью и к ним вполне применимы методы Кардано. Ключевым моментом является понимание того, что возможные исходы подбрасывания монет — это данные, описывающие то, как монеты падают, а не общее количество орлов, вычисленное исходя из этих данных, как заключает Д'Аламбер. Другими словами, нам следует рассматривать не 0,1 или 2 орла в качестве возможных исходов, а скорее последовательности: (орел, орел), (орел, решка), (решка, орел) и (решка, решка). Эти 4 возможных комбинации и составляют пространство элементарных событий.
Далее, если следовать трактату Кардано, следует рассортировать исходы, отметив число орлов, полученное в каждом исходе. Только 1 из 4 исходов — (орел, орел) — дает 2 орла. Таким образом, только исход (решка, решка) дает 0 орлов. Если нам нужен 1 орел, то 2 из всех исходов будут благоприятными: (орел, решка) и (решка, орел). Итак, метод Кардано доказывает ошибочность утверждений Д'Аламбера: шансы равны 25% для 0 или 2 орлов, но 50% для 1 орла. Поставь Кардано свои наличные на 1 орла как 2 к 1, он бы проиграл только в половине случаев, но утроил бы свою сумму в другой половине. Неплохая возможность для парня того времени, пытающегося наскрести на учебу, впрочем, как и в наше время, если бы только представилась такая возможность.
Подобная задача часто встречается в рамках курса по элементарной вероятности, и речь в ней о двух дочерях, причем задача похожа на ту, которую я уже упоминал в связи с колонкой «Спросите Мэрилин». Предположим, будущая мать носит близнецов и хочет знать, какова вероятность того, что родятся две девочки, мальчик и девочка и так далее. В таком случае пространство элементарных событий состоит из всех возможных комбинаций полов детей согласно очередности их рождения: (девочка, девочка), (девочка, мальчик), (мальчик, девочка) и (мальчик, мальчик). Все то же самое, как и в случае с задачей о подбрасывании монет, только названия меняются: вместо орла у нас «девочка», вместо решки «мальчик». У математиков есть занятное название для ситуации, в которой одна задача является по сути замаскированной другой задачей — изоморфизм. Когда вы наталкиваетесь на случай изоморфизма, жить сразу становится проще. В данном случае подразумевается, что мы можем высчитать вероятность рождения двух девочек точно так же, как мы высчитали вероятность того, что обе монеты упадут орлами. Так что без всякого там предварительного анализа можно дать ответ: 25%. И уже потом ответить на тот вопрос, который был напечатан в колонке Мэрилин: вероятность того, что хотя бы один из младенцев окажется девочкой, равна вероятности того, что оба ребенка родятся девочками плюс к этому вероятности того, что лишь один ребенок окажется девочкой. То есть, 25% плюс 50%. Выходит 75%.
В задаче о двух дочерях обычно фигурирует еще один вопрос: какова вероятность того, что оба ребенка окажутся девочками, при условии, что про одного ребенка уже точно известно — это девочка? Кое- кто станет рассуждать таким образом: поскольку уже дано, что один ребенок — девочка, следует рассматривать лишь другого ребенка. Вероятность того, что этот другой ребенок окажется девочкой, равна 50%, так что вероятность появления на свет двух девочек равна 50%.
Что неверно. Почему? Хотя в формулировке задачи и сказано, что один ребенок — девочка, не уточняется, который из двоих, а это важно. Если вас такое утверждение сбивает с толку, ничего страшного — сейчас я продемонстрирую вам, как метод Кардано чудесным образом все проясняет.
Новая информация — о том, что один из младенцев — девочка, — означает, что мы исключаем из рассмотрения возможность того, что оба младенца — мальчики. Таким образом, применяя подход Кардано, мы исключаем возможный исход (мальчик, мальчик) из пространства элементарных событий. В нем остаются только 3 исхода: (девочка, мальчик), (мальчик, девочка) и (девочка, девочка). Из этих исходов исход (девочка, девочка) благоприятный, то есть оба младенца рождаются девочками, поэтому вероятность того, что оба ребенка родятся девочками, равна 1 из 3 или 33%. Теперь-то мы понимаем всю важность момента: в задаче не говорится, который из младенцев девочка. К примеру, если бы в задаче спрашивалось: какова вероятность того, что оба младенца родятся девочками, при условии, что первый ребенок — девочка, мы исключили бы из пространства элементарных событий и пару (мальчик, мальчик), и пару (мальчик, девочка), а вероятность равнялась бы 1 из 2, то есть 50%.
Надо отдать должное Мэрилин вос Савант — она не только предприняла попытку привить широкой общественности элементарные знания о теории вероятностей, но и продолжила публиковать подобные вопросы, несмотря на непростой опыт с задачей Монти Холла. Напоследок рассмотрим еще один вопрос из ее колонки, на этот раз датированный мартом 1996 г.:
«Мой отец услышал это по радио. В Университете Дьюка двое студентов в течение всего семестра получали по химии высшие баллы. Но вечером перед выпускным тестом они были на вечеринке в другом штате, а вернулись только на следующий день, когда экзамен уже закончился. В качестве оправдания они рассказали профессору про лопнувшую шину и попросили разрешения все же написать тест. Профессор согласился, составил для них вопросы и рассадил обоих студентов по разным аудиториям. За правильный ответ на первый вопрос (на одной стороне листа) давалось 5 баллов. Студенты перевернули листы и обнаружили на оборотной стороне вопрос, за правильный ответ на который давалось 95 баллов. Вот он: «На котором из колес лопнула шина?» Какова вероятность того, что оба студента ответят одинаково? Мы с отцом решили, что 1 из 16. Верно{60}?»
Нет, не верно. Если студенты солгали, вероятность того, что они напишут один и тот же ответ, равна 1 из 4 (если вам непонятно, почему это так, загляните в примечания в конце книги{61} ). А вот теперь, когда мы уже привыкли к тому, чтобы разбирать задачу, составляя список возможных исходов, можно воспользоваться законом пространства элементарных событий и решить задачу Монти Холла.
Как я уже говорил, чтобы решить задачу Монти Холла, не нужно обладать особыми познаниями в математике. Однако необходимо некоторое умение мыслить логически, так что если вы одним глазом читаете эти строки, а другим смотрите повтор «Симпсонов», вам наверняка придется сосредоточиться на чем-то одном. Не переживайте, много времени это не займет — всего несколько страниц.
В задаче Монти Холла фигурируют три двери: за одной нечто ценное, скажем, шикарная красная «Мазерати», за двумя другими — нечто гораздо менее интересное, скажем, полное собрание сочинений Шекспира на сербском. Вы выбрали дверь 1. В таком случае пространство элементарных событий представлено следующими тремя возможными исходами:
• «Мазерати» за дверью 1.
• «Мазерати» за дверью 2.
• «Мазерати» за дверью 3.
Вероятность каждого исхода — 1 из 3. Поскольку предполагается, что большинство все-таки выберет «мазерати», первый исход будем считать выигрышным, а шансы угадать равны 1 из 3.
Далее по сценарию ведущий, заведомо знающий, что находится за каждой из дверей, открывает одну дверь из не выбранных вами, и оказывается, что за дверью собрание сочинений Шекспира. Поскольку, открывая эту дверь, ведущий использовал свое знание о предметах за дверями, чтобы не раскрыть местонахождение «мазерати», данный процесс нельзя назвать случайным в прямом смысле этого слова. Существуют два варианта, которые стоит обдумать.
Первый — вы изначально делаете правильный выбор. Назовем такой случай «счастливой догадкой». Ведущий наугад откроет либо дверь 2, либо дверь 3, и если вы предпочтете сменить свою дверь, вместо шикарной, с ветерком поездки станете владельцем «Троила и Кресиды» на чакавском диалекте[9]. В случае «счастливой догадки» лучше, конечно, не соблазняться предложением сменить дверь, однако вероятность выпадения «счастливой догадки» равна всего лишь 1 из 3.
Второй — вы сразу же указываете не на ту дверь. Назовем такой случай «ошибочной догадкой».
