истории математики: в этот год Готфрид Лейбниц опубликовал свой революционный труд, в котором изложил основы интегрального исчисления — дополнение к работе 1684 г. об исчислении дифференциальном. Ньютон напечатает собственную работу по данной теме в 1687 г., в своих «Математических началах натуральной философии» (часто сокращаемых до «Начал»). В этих прогрессивных работах будет содержаться ключ к работе Бернулли на тему теории случайности.
Ко времени своих публикаций и Лейбниц, и Ньютон уже не один год размышляли на данную тему, однако из их практически одновременных публикаций трудно было понять, кому принадлежит честь открытия. Великий математик Карл Пирсон (он еще встретится нам в главе 8) сказал: о репутации математиков «последующие поколения судят не по тому, что те сделали, а по тому, что современники приписали тем»{92}. Возможно, Ньютон и Лейбниц согласились бы с подобным утверждением. В любом случае ни один, ни другой не оказались на высоте, к тому же тот, кто настаивал на первенстве, был известен своей резкостью. В то время результат казался запутанным. Немцы и швейцарцы узнали о математическом анализе из труда Лейбница, а англичане и многие французы — из работы Ньютона. С точки зрения современности разница между обоими трудами невелика, однако в конце концов вклад Ньютона часто выделяется, потому как кажется: он в самом деле был первым, а в «Началах» применил свое изобретение для создания современной физики — таким образом «Начала» становятся величайшим научным трудом. Однако Лейбниц разработал более удачную систему обозначений, именно его символы зачастую используются в современном математическом анализе.
Понять было непросто как Ньютона, так и Лейбница. Помимо того, что «Начала» Ньютона называли величайшим научным трудом, их считали также и «одной из самых недоступных для понимания книг, которые когда-либо были написаны»{93}. А труд Лейбница, если верить биографам Якоба Бернулли, «вообще никто не понимал»; он отличался не только туманностью изложения, но и обилием опечаток. Иоганн, брат Якоба, сказал, что это «скорее загадка, нежели разъяснение»{94}. И в самом деле, работы эти оказались до того невнятными, что ученые высказывали предположение, будто и Лейбниц, и Ньютон намеренно затуманили смысл, чтобы отпугнуть всякого рода любителей. Однако такое таинственное свойство работ сыграло Якобу Бернулли только на руку, поскольку действительно способствовало отделению зерен от плевел, а интеллект Бернулли подпадал именно под первую категорию. Как только он расшифровал мысли Лейбница, в его распоряжении оказалось оружие, которым владела лишь горстка людей в целом мире, а уже с помощью этого оружия Бернулли мог запросто решить задачи, к которым другие не могли даже подступиться.
Набор основных понятий и для математического анализа, и для работы Бернулли заключается в последовательностях, рядах и пределах. Термин «последовательность» для математика значит практически то же самое, что и для любого другого: определенный порядок следования элементов, таких как точки или числа. Ряды — это не что иное, как сумма последовательностей чисел. Если создается впечатление, будто элементы последовательности ведут к чему-то — к определенной конечной точке или конкретному числу, — то в таком случае мы говорим о пределе последовательности.
Хотя математический анализ представляет собой очередное затруднение на пути к пониманию последовательностей, он, как и многие другие идеи, уже был известен древним грекам. В V в. до н.э. греческий философ Зенон с помощью любопытной последовательности сформулировал парадокс, над которым до сих пор любят поспорить студенты философского факультета, особенно после того, как пропустят по кружке-другой пива. Парадокс Зенона заключается в следующем. Предположим, ученик хочет подойти к двери, расстояние до которой — 1 метр. (В качестве единицы измерения мы берем метр, однако это для удобства; то же самое верно для мили и т.д.) Прежде, чем достигнуть двери, он должен достигнуть точки на полпути к ней. Однако для того, чтобы достигнуть точки на полпути, он прежде должен достигнуть точки на полпути к точке на полпути к двери — иными словами, точки на расстоянии одной четверти пути до двери. И так далее до бесконечности. То есть, чтобы дойти до конечного пункта, он должен пройти следующие последовательности расстояний: 1/2 метра, 1/4 метра, 1/8 метра и так далее. Зенон утверждал: так как последовательности выстраиваются до бесконечности, ученику придется идти бесконечное число конечных отрезков пути. Зенон высказался, что это займет у ученика бесконечное количество времени. И вывод Зенона: он никуда не придет.
В течение столетий кто только ни пытался разрешить это затруднение: от Аристотеля до Канта. Диоген, основатель школы киников, решил подойти к задаче с позиций эмпирических: он просто-напросто сделал несколько шагов и тем самым наглядно продемонстрировал, что дошел до пункта назначения. Тем из нас, кто не учился на факультете философии, подобное решение покажется вполне приемлемым. Однако для Зенона этого было бы недостаточно. Зенон сознавал противоречие между логическим доказательством и доказательством на уровне физических ощущений, вот только он, в отличие от Диогена, доверял именно логике. И застрял на этом вопросе не только Зенон. Даже Диогену пришлось признать, что его собственный ответ оставляет нас перед вопросом, приводящим в тупик (и, как оказалось, отличающимся глубиной): если доказательство, полученное с помощью наших органов чувств, верно, тогда что неверно в логических построениях Зенона?
Рассмотрим последовательность расстояний в парадоксе Зенона: 1/2 метра, 1/4 метра, 1/8 метра, 1/16 метра и так далее (градация все уменьшается). Эта последовательность обладает бесконечным числом ограничений, поэтому вычислить ее сумму путем простого сложения не получится. Однако можно заметить, что хотя число ограничений бесконечно, ограничения эти в своей последовательности все уменьшаются и уменьшаются. Может, существует конечное равновесие между бесконечным потоком ограничений и их бесконечно уменьшающимся размером? Этот вопрос как раз относится к тому самому типу вопросов, на которые возможно ответить, прибегнув к понятиям последовательностей, рядов и пределов. Чтобы увидеть его в действии, не нужно пытаться подсчитать, как далеко зайдет ученик после всей бесконечности Зеноновых интервалов, нужно каждый раз рассматривать по интервалу. Вот расстояния, которые прошел ученик после первых нескольких интервалов:
• После первого интервала: ? метра
• После второго интервала: ? метра + ? метра = ? метра
• После третьего интервала: ? метра + ? метра + 1/8 метра = 7/8 метра
• После четвертого интервала: ? метра + ? метра + 1/8 метра + 1/16 метра = 15/16 метра
Таково распределение чисел: 1/2 метра, 3/4 метра, 7/8 метра, 15/16 метра... Знаменатель — степень двойки, числитель на одну часть меньше знаменателя. Глядя на таким образом распределившиеся числа, можно вычислить: через 10 интервалов ученик пройдет 1,023/1,024 метра; через 20 интервалов — 1,048,575/1,048,576 метра и так далее. Из распределения чисел ясно, что Зенон прав — чем больше интервалов, тем больше получаемая сумма расстояний. Однако Зенон не прав, когда говорит, что сумма стремится к бесконечности. Наоборот, числа приближаются к 1; математики сказали бы, что 1 метр является пределом данной последовательности расстояний. Что имеет смысл, потому что хотя Зенон и раздробил путь ученика на бесконечное количество интервалов, он, в конце концов, должен пройти всего 1 метр.
Парадокс Зенона о количестве времени, которое потребуется на то, чтобы пройти путь, но никак не о расстоянии. Если ученик будет шагать в строгом соответствии с интервалами Зенона, ему, конечно же, придется попотеть (не говоря уже о том, что он должен будет совершать крошечные, меньше миллиметра шаги)! Однако если он станет передвигаться с постоянной скоростью, не соблюдая воображаемые Зеноновы интервалы — а почему бы и нет? — время, которое потребуется на преодоление каждого из интервалов, будет пропорционально расстоянию, пройденному за этот интервал, а поскольку в целом отрезок пути конечен, конечно и общее время и — к счастью для всех нас — движение все-таки возможно.
Хотя современная концепция пределов была разработана намного позже того времени, в котором жил Зенон, да и не только он, а и Бернулли — это произошло в XIX в.{95} — именно она составляет суть математического анализа, и именно таковы по сути своей попытки Якоба Бернулли исследовать связь между вероятностями и наблюдением. В частности, Бернулли изучил, что происходит в пределе сколь угодно большого числа многократных наблюдений. Подбросьте сбалансированную монету 10 раз: у вас может выпасть 7 орлов. Однако если вы подбросите монету сто тысяч миллиардов раз, у вас,
