Истина и красота. Всемирная история симметрии.

Глава 15 Математическая кутерьма

У гусей — гогот, у львов — достоинство, у певчих птиц — пленительность, у жаворонков — ликование… А какое обобщающее существительное относится к математике? Великолепие математики? Слишком пафосно. Таинство математики? Пожалуй, немного чересчур. В результате многих выпавших на мою долю шансов понаблюдать за поведением математических индивидуумов, сбившихся в достаточно большое стадо, я пришел к выводу, что самое подходящее слово для того, что они устраивают, — «кутерьма».

Один из них в такой кутерьме изобрел одну из наиболее причудливых структур во всем предмете и открыл скрытое единство за таинственным фасадом. Их открытия, возникавшие по большей части из праздношатания в надежде, что под руку подвернется что-нибудь интересное, начинают проникать в теоретическую физику, и они могут оказаться ключевыми для некоторых самых любопытных свойств суперструн.

Математика суперструн — предмет настолько новый, что большая ее часть еще не изобретена. Но, по иронии судьбы, математики и физики как раз открыли, что суперструны, находящиеся на самом переднем крае исследований в современной физике, демонстрируют занятную связь с куском викторианской алгебры — настолько старомодным куском, что его редко упоминают в университетских курсах математики. Это алгебраическое изобретение известно как октонионы; они представляют собой структуру, идущую после вещественных чисел, комплексных чисел и кватернионов.

Октонионы были открыты в 1843 году, результат появился в печати в 1845-м за чужим авторством, и с тех пор их создатель неизменно указывался неправильно — но это большого значения не имело, поскольку внимания на них все равно никто не обращал. К 1900 году они впали в безвестность даже внутри математики. Недолгое возрождение выпало на их долю в 1925 году, когда Вигнер и фон Нейман попытались на их основе построить квантовую механику, но снова исчезли с горизонта, когда эта попытка не удалась. В 80-х годах двадцатого века они вынырнули снова из-за их потенциальной полезности в теории струн. В 1999 году они сыграли роль ключевого ингредиента в 10- и 11-мерной теориях суперструн[118].

Октонионы говорят нам, что нечто очень странное творится в районе числа 8, а что-то еще более странное происходит с физикой пространства, времени и материи. Викторианская безделушка пережила второе рождение в качестве ключа, открывающего глубокие тайны на общих рубежах математики и физики — в особенности это относится к вере в то, что пространство-время может иметь большее число измерений, чем традиционные четыре, и что именно за счет этого соединяются в одно целое гравитация и квантовая теория.

Октонионная сага разворачивается на свободных просторах абстрактной алгебры; этому сюжету посвящен прекрасный математический обзор, опубликованный в 2001 году американским математиком Джоном Баэзом. Я буду в значительной мере опираться на его идеи, изо всех сил стараясь донести до читателя хитроумные, но изящные чудеса, которыми славится эта любопытная область на стыке математики и физики. Как и с духом отца Гамлета — развоплощенным голосом из-под сцены, — значительная часть математических подробностей должна оставаться вне поля зрения аудитории. Отнеситесь ко мне с терпением и не обращайте слишком большого внимания на непонятности необъясненного профессионального жаргона. Иногда просто требуется удобное слово, чтобы не упускать из виду основных действующих лиц.

В качестве вступления могут быть полезны несколько напоминаний. С нашей историей о погоне за симметрией тесно переплелось осуществлявшееся шаг за шагом расширение числовой системы. Первым шагом было открытие (или изобретение) в середине шестнадцатого столетия комплексных чисел, в которых имеется квадратный корень из ?1. До того времени математики считали, что числа — единственные и данные от Бога. И подумать нельзя было об изобретении каких-то новых чисел. Но около 1550 года Кардано и Бомбелли сделали именно это, записав квадратный корень из отрицательного числа. Понадобилось около 400 лет, чтобы разобраться, какой в этом смысл, но всего около 300, чтобы убедить математиков, что штука эта слишком полезная, чтобы стоило ее выкидывать.

К 1800-м годам вычурное изобретение Кардано и Бомбелли кристаллизовалось в числа некоего нового вида, в записи которых появился новый символ i. Комплексные числа могут показаться странными, но они оказались восхитительным средством для понимания математической физики. Задачи о тепле, свете, звуке, колебаниях, упругости, гравитации, магнетизме, электричестве и течении жидкостей и газов — все они поддались комплексному натиску, правда, только в физике размерности два.

Наша вселенная, однако, имеет три пространственных измерения — во всяком случае так считалось до самого последнего времени. Поскольку двумерная система комплексных чисел настолько эффективна в двумерной физике, может ли найтись аналогичная трехмерная числовая система, пригодная для использования в «настоящей» физике? Гамильтон потратил годы на поиски чего-то подобного, но без всякого успеха. Затем 16 октября 1843 года он испытал озарение: не смотри на три измерения, смотри на четыре, — и нацарапал свои уравнения для кватернионов на каменной кладке моста Брумбридж.

У Гамильтона был старый друг со времен колледжа по имени Джон Грейвс, фанат алгебры. Весьма вероятно, что именно Грейвс первоначально пробудил в Гамильтоне интерес к расширению числовой системы. Гамильтон написал своему приятелю длинное письмо о кватернионах на следующий же день после того, как испортил мост своей надписью.

Грейвс сначала был озадачен и сомневался, насколько законным является изобретение правил умножения прямо из головы. «У меня пока нет никакого ясного представления о том, в какой степени мы свободны в произвольном создании мнимостей и в наделении их сверхъестественными свойствами», — писал он в ответ. Но он также разглядел потенциал новой идеи и задался вопросом о том, как далеко это позволит продвинуться: «Если ваша алхимия позволяет вам создать три фунта золота, то зачем останавливаться?»

То был хороший вопрос, и Грейвс задался целью ответить на него. По прошествии двух месяцев он прислал письмо, в котором говорил, что нашел восьмимерную числовую систему. Он назвал ее октавами. С ними была связана замечательная формула о сумме восьми квадратов, к которой мы очень скоро обратимся. Он попытался определить 16-мерную числовую систему, но наткнулся на нечто, о чем он отозвался как о «непредвиденной загвоздке». Гамильтон сказал, что поможет своему другу привлечь к его открытию внимание публики, но потом оказался слишком для этого занят исследованием своих кватернионов. Затем он заметил потенциальную проблему: умножение октав не подчинялось закону ассоциативности. Это значит, что если взять произведение трех октав двумя способами, как (ab)c и a(bc), то, как правило, получатся различные ответы. После проведенной им серьезной переоценки ценностей Гамильтон был готов отказаться от закона коммутативности, но расстаться еще и с ассоциативностью — это было уже чересчур.

Далее Грейвсу крупно не повезло. До того как он сумел опубликовать свое открытие, Кэли независимо открыл то же самое и в 1845 году опубликовал как приложение к ужасной во всех остальных отношениях статье по эллиптическим функциям, настолько изобилующей ошибками, что ее изъяли из собрания его работ. Кэли назвал свою систему октонионами.

Грейвс был расстроен тем, что его опередили в плане публикации. Так случилось, что его собственная статья должна была вскоре выйти в том же журнале, где о своем открытии объявлял Кэли. Поэтому Грейвс добавил к статье замечание с указанием, что та же идея пришла ему в голову еще за два года до того, а Гамильтон поддержал его, опубликовав краткую заметку, подтверждающую, что приоритет принадлежит его другу. Несмотря на эту четкую картину, октонионы быстро приобрели название «числа