А если круги совпадают и полностью перекрывают друг друга? Тогда говорят, что множества равны, и любое из них является и подмножеством, и надмножеством другого. В общем случае:
если B ≥ W, то B является надмножеством W;
если B ≤ W, то B является подмножеством W.
Мы рассмотрели несметные множества бесконечно маленьких точек. Но компьютеры ещё не умеют работать с бесконечностями. Так умерим свой аппетит и перейдем к множествам с конечным числом элементов. Поступим так: вместо раскраски кругов расставим на них ряд жирных точек и пронумеруем их числами от 1 до 9 (рис. 86). В ходе последующих опытов нас будут интересовать лишь эти избранные точки (то есть, числа).
Так мы получили два конечных множества чисел. Одно из них, обозначенное буквой A, содержит числа 8, 7, 9, 3, 5, 2. Другое обозначено буквой B и включает числа 5, 4, 6, 1, 2. Эти множества математики записали бы так:
A = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 }
B = { 5, 4, 6, 1, 2 }
Для записи множеств они используют фигурные скобки. Обратите внимание: числа в скобках следуют в произвольном порядке. Это значит, что порядок перечисления элементов множества не важен. Учтите также, что числа 2 и 5 входят в оба множества.
Подобно точкам на круге, каждый элемент числового множества уникален, иными словами, может входить в множество лишь единожды. Вспомните нашу попытку покрасить углем черный круг, – добавление к множеству существующих в нём элементов не изменяет его. Этим же свойством обладают и числовые множества. Например, для нашего случая справедливо следующее.
A + { 8, 7 } = A
Множество A после объединения с множеством {8,7} не изменилось, поскольку уже содержало эти числа.
С числовыми множествами поступают так же, как и с бесконечными: объединяют, пересекают, вычитают и сравнивают. Вот примеры этих операций для нашего случая.
Объединение множеств содержит все числа исходных множеств, при этом повторения (дубликаты) отбрасывают:
G = A + B = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } + { 5, 4, 6, 1, 2 } = { 8, 7, 9, 3, 5, 2, 4, 6, 1 }
Хотя числа 2 и 5 входили в оба исходных множества, в объединении они встречаются по разу.
Пересечение множеств содержит только числа, входящие в оба множества:
A * B = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } * { 5, 4, 6, 1, 2 } = { 5, 2 }
Разность множеств A–B содержит числа, состоящие в множестве A, но отсутствующие в множестве B:
A – B = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } – { 5, 4, 6, 1, 2 } = { 8, 7, 9, 3 }
Разность множеств B–A содержит числа, состоящие в множестве B, но отсутствующие в множестве A:
B – A = { 5, 4, 6, 1, 2 } – { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } = { 4, 6, 1 }
Эти «вычисления» легко проверить по рис. 86.
Мощность множества – это наибольшее количество элементов, которое может содержаться в нём. В нашем числовом примере мощность множества равна девяти.
Множество, содержащее все возможные свои элементы, называют полным. В нашем случае полным является объединение множеств A+B.
Множество, содержащее не все возможные элементы, является неполным. Так, множества A и B по отдельности – неполные.
Все это рассказал нам математик. А что же Семен Семенович, или мы забыли о директоре? Нет, конечно, но к директорской задаче мы вернемся после ознакомления с «паскалевскими» множествами.
• Множество – это совокупность различимых объектов (точек, чисел, предметов), которую мы воспринимаем как нечто целое. Отдельные объекты множества называют его элементами.
