падения, пространство вдвое большее пройденного. — В этом положении заключается также и сама по себе превратная метафизика: конец падения или конец той части времени, в которое падало тело, всегда сам еще есть некоторая часть времени; если бы он не был таковой частью, то наступил бы покой и, следовательно, не было бы никакой скорости; скорость может быть установлена лишь по пространству, пройденному в некоторую часть времени, а не в конце ее. Если же кроме того и в других физических областях, где вовсе нет никакого движения, как например относительно поведения света (помимо того, что называют его распространением в пространстве) и относительно определений величин в цветах, применяют диференциальное исчисление и первая производная функция некоторой квадратной функции здесь также именуется скоростью, то на это следует смотреть, как на еще более несостоятельный формализм выдумывания существования. —
Движение, изображаемое уравнением 
, говорит Лагранж, мы находим в опыте падения тел; простейшим следующим за ним было бы движение, уравнением которого является 
, но такого движения не оказывается в природе; мы не знали бы, что может означать собою коэфициент c. Если это верно, то, напротив, существует движение, уравнением которого является 
— кеплеровский закон движения тел солнечной системы. И разрешение вопроса о том, что здесь должна означать первая производная функция 
и т. д., а также дальнейшая непосредственная разработка этого уравнения путем диференцирования, развитие законов и определений указанного абсолютного движения, отправляясь от этой исходной точки зрения, должно бы, конечно, представить собою интересную задачу, в решении которой анализ явил бы себя в достойнейшем блеске.
Таким образом само по себе взятое приложение диференциального исчисления к элементарным уравнениям движения не представляет реального интереса; формальный же интерес проистекает из общего механизма исчисления. Но иное значение получает разложение движения в отношении определения его траектории; если последняя есть кривая и ее уравнение содержит высшие степени, то требуются переходы от прямолинейных функций возвышения в степень к самим степеням, а так как первые должны быть выведены из первоначального уравнения движения, содержащего фактор времени, с элиминированием времени, то этот фактор вместе с тем должен быть низведен к тем низшим функциям развертывания, из которых могут быть получены означенные уравнения линейных определений. Эта сторона приводит к рассмотрению интереса другой части диференциального исчисления.
Сказанное доселе имело своей целью выделить и установить простое специфическое определение диференциального исчисления и показать наличие этого определения на некоторых элементарных примерах. Это определение, как оказалось, состоит в том, что из уравнения степенных функций находят коэфициент члена разложения, так называемую первую производную функцию, и что обнаруживают наличие того отношения, которое она собою представляет, в моментах конкретного предмета, посредством какового, полученного таким образом уравнения между обоими отношениями определяются сами эти моменты. Мы должны вкратце рассмотреть также и принцип интегрального исчисления и установить, что получается из его приложения для его специфического конкретного определения. Понимание этого исчисления было нами упрощено и определено более правильно уже благодаря одному тому, что мы его больше не принимаем за метод суммирования, как его назвали в противоположность диференцированию (в котором приращение считается существенным ингредиентом), вследствие чего интегрирование представлялось находящимся в существенной связи с формой ряда. — Что касается задачи этого исчисления, то таковой, во-первых, так же как и в диференциальном исчислении, является теоретическая или, скорее, формальная задача, но, как известно, обратная задаче диференцирования. Здесь исходят из функции, рассматриваемой как производная, как коэфициент ближайшего члена, получающегося в результате разложения в ряд некоторого, пока еще неизвестного уравнения, а из этой производной должна быть найдена первоначальная степенная функция; та функция, которая в естественном порядке развертывания должна быть рассматриваема как первоначальная, здесь выводится, а рассматривавшаяся ранее как производная есть здесь данная или вообще начальная. Но формальная сторона этого действия представляется уже выполненной диференциальным исчислением, так как в последнем устанавливается вообще переход и отношение первоначальной функции к функции, получающейся в результате разложения в ряд. Если при этом отчасти уже для того, чтобы взяться за ту функцию, из которой следует исходить, отчасти же для того, чтобы осуществить переход от нее к первоначальной функции, оказывается необходимым во многих случаях прибегнуть к форме ряда, то следует прежде всего твердо помнить, что эта форма как таковая не имеет непосредственно ничего общего с собственным принципом интегрирования.
Но другой стороной задачи этого исчисления является с точки зрения формальной операции его приложение. А последнее само представляет собой задачу узнать, какое предметное значение (в вышеуказанном смысле) имеет та первоначальная функция, которую мы находим по данной функции, принимаемой за первую [производную]. Может казаться, что с этим учением, взятым само по себе, также покончено уже в диференциальном исчислении. Однако здесь появляется дальнейшее обстоятельство, вследствие которого дело оказывается не так просто. А именно, так как в этом исчислении оказывается, что благодаря первой производной функции уравнения кривой получилось некоторое линейное отношение, то тем самым мы также знаем, что интегрирование этого отношения дает уравнение кривой в виде отношения абсциссы и ординаты; или, если бы было дано уравнение для площади кривой, то диференциальное исчисление должно было бы предварительно научить нас относительно значения первой производной функции такого уравнения, что эта функция представляет ординату как функцию абсциссы, стало быть, представляет уравнение кривой.
