Занимательная электроника

к многоразрядным двоичным числам. В результате их применения тоже получается многоразрядное двоичное число, необязательно ноль или единица, как в случае логических. Поскольку наши результаты операций сравнения содержат только один двоичный разряд (либо соблюдается, либо не соблюдается), то в данном случае логические и поразрядные операции оказываются идентичны, и можно писать и так, и так. А вот если в операциях участвуют обычные числа, то результат будет разный: «10&&7» равно «логической 1» (отличное от нуля значение всегда интерпретируется, как «правда»), тогда как «10&7» равно 2 (почему, будет рассказано далее). Как мы узнаем в главе 21, эти особенности играют большую роль в программировании микроконтроллеров на языке С.

* * *

Пусть х = 0,5, у = 1. Чему будет равно D в этом случае? Очевидно, что выражение (А + В) примет значение «ложь» (0), поскольку х не удовлетворяет ни одному из условий А и В. Переменная С примет значение «правда» (1), но на результат это уже не повлияет, т. к. произведение 0 на 1, согласно таблице логического умножения, равно 0. То есть D в данном случае есть «ложь». Если же принять значение х = -0,5, оставив у равным 1, то D примет значение «правда».

Интересный оборот примут события, если вместо «OR» между А и В поставить «AND», — легко догадаться, что выражение в скобках тогда не будет «правдой» ни при каком значении х, поскольку условия «х меньше 0» и «х больше 1» взаимоисключающие. Потому результирующее условие D всегда будет принимать значение 0, т. е. «ложь». Но вот если мы изменим выражение следующим образом:

(2)

то есть инвертируем выражение в скобках с помощью операции «НЕ», то получим обратный результат: D всегда будет «правдой» (черточкой над символом или выражением как раз и изображается инверсия). Интересно, что тот же самый результат мы получим, если запишем выражение следующим образом:

(3)

Это свойство выражается в так называемых правилах де Моргана (учителя Буля):

Отметим, что из таблиц логического умножения и сложения вытекает еще одно любопытное следствие. Дело в том, что ассоциация значения «ложь» с нулем, а «правды» с единицей (положительная логика), есть действие вполне произвольное — ничто не мешает нам поступить наоборот (отрицательная логика). Такая замена приводит к тому, что все операции «ИЛИ» меняются на «И» и наоборот (рассмотрите таблицы внимательно). А вот операция «НЕ» к такой замене индифферентна — 0 меняется на 1 в любой логике.

Далее приведены несколько соотношений, которые вместе с правилами де Моргана помогают создавать и оптимизировать логические схемы. Некоторые из них очевидны, иные же — совсем нет.

Ассоциативный закон умножения:

A x B x C = (A x B) x C = A x (B x C)

Ассоциативный закон сложения:

A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)

Другие формулы:

Булева алгебра на выключателях и реле

Для того чтобы представить булевы переменные и операции над ними с помощью технических устройств (то, что сделал Клод Шеннон в своей диссертации), надо придумать схемы, которые воспроизводили бы эти операции согласно изложенным правилам. Для этого осталось сделать только один шаг: пусть наличие напряжения (высокий уровень напряжения) в некоторой точке цепи представляет собой логическую единицу, а отсутствие напряжения