Несмотря на все успехи и неудачи, закон Тициуса — Боде ставит перед нами важные вопросы: имеет ли распределение планет какое-то математическое обоснование? Или они могли в принципе расположиться вокруг Солнца любым желаемым образом, на любых расстояниях? Что представляет собой этот закон — совпадение, проявление какой-то неизвестной закономерности или то и другое одновременно?
* * *В качестве первого шага переформулируем закон Тициуса — Боде в более общий и слегка модифицированный вид. В оригинальной форме этот закон имеет аномалию: в качестве первого члена последовательности в нем используется 0. В полноценной геометрической прогрессии на этом месте должно было бы стоять 1,5. Хотя при таком выборе расстояние до Меркурия становится 0,55 (что менее точно), вся наша игра с расстояниями имеет чисто эмпирический и приближенный характер, так что, пожалуй, разумнее будет сохранить математическую аккуратность и использовать 1,5. Теперь закон можно выразить простой формулой: расстояние от Солнца до n-й планеты в астрономических единицах равно
d = 0,075 × 2n + 0,4.
Теперь следует провести несколько вычислений. По большому счету 0,4 а.е. для отдаленных планет не играет особой роли, поэтому отбросим этот член и получим d = 0,075 × 2n. Это уже center степенного закона, который в общем виде записывается как d = abn, где a и b — константы.
Прологарифмируем уравнение:
log d = log a + n log b.
Если интерпретировать n и log d как координаты, получим уравнение прямой с наклоном log b, пересекающей вертикальную ось в точке log a. Таким образом, чтобы распознать степенную зависимость, нужно построить график зависимости log d от n в логарифмическом масштабе по обеим осям. Если результат окажется близок к прямой, все в порядке. Мало того, мы можем проделать то же самое не только для расстояния d, но и для других величин, таких как период обращения вокруг звезды или масса.
Если попытаться проделать это для расстояний от Солнца до планет, включая Цереру и Плутон, то получится график на рисунке слева. Он близок к прямой, как и следовало бы ожидать по закону Тициуса — Боде. А как насчет их масс (смотрим на рисунок справа)? На этот раз полулогарифмический график выглядит совершенно иначе. Ничего похожего на прямую или какую бы то ни было другую четкую зависимость.
А орбитальный период? Вновь чистая прямая (смотри следующий график слева). Однако это неудивительно, поскольку третий закон Кеплера соотносит период с расстоянием таким образом, что степенная зависимость сохраняется. Попробуем расширить поле исследования и проверим пять основных лун Урана; получим график справа. Вновь степенная зависимость.
* * *Совпадение или что-то более глубокое? Мнения астрономов разделились. В лучшем случае наблюдается тенденция к степенной зависимости в расстояниях. При этом зависимость не универсальна.
Здесь вполне возможно какое-то рациональное объяснение. Наиболее вероятное начинается с идеи о том, что в динамике случайной системы планет принципиально важную роль играют резонансы — случаи, когда орбитальные периоды двух планет дают в отношении простую дробь. К примеру, один из периодов может составлять 3/5 от другого, это резонанс 5:3[26]. Не обращая внимания на остальные тела, эти две планеты будут то и дело — через правильные интервалы — выстраиваться вдоль радиальной прямой, связывающей их со звездой, потому что пять оборотов одной планеты вокруг звезды в точности соответствуют трем оборотам другой планеты. За долгий период времени возникающие при этом небольшие возмущения орбит будут накапливаться, так что планеты будут склонны менять свои орбиты. В то же время для периодов, отношение которых не дает простой дроби, возмущения, как правило, компенсируются, поскольку в таких системах нет преимущественного направления, вдоль которого могла бы действовать связывающая две планеты сила тяготения.
И это не просто неопределенное предположение: оно подтверждается детальными расчетами и обширной математической теорией. В первом приближении орбита небесного тела представляет собой эллипс. На следующем уровне аппроксимации наблюдается прецессия эллипса: его большая ось медленно поворачивается в пространстве. Еще более точная аппроксимация показывает, что доминирующие члены в centerх движения небесных тел возникают от вековых (секулярных) резонансов — более общего типа резонансных отношений между периодами, с которыми прецессируют орбиты нескольких тел.
Как именно движутся тела, находящиеся в резонансе друг с другом, зависит от отношения периодов, а также от их координат и скоростей, но часто результатом бывает очищение подобных орбит. Компьютерное моделирование показывает, что случайным образом распределенные вокруг звезды планеты склонны занимать позиции, отношения между которыми примерно похожи на закон Тициуса — Боде, а промежуточные позиции вычищаются резонансами. Но все это достаточно неопределенно и расплывчато.
В Солнечной системе есть несколько «миниатюрных» подсистем, роль которых играют планеты-гиганты со своими лунами. Орбитальные периоды трех крупнейших спутников Юпитера — Ио, Европы и Ганимеда — относятся друг к другу как 1:2:4, то есть каждый последующий из них вдвое больше предыдущего (см. главу 7). Четвертый спутник этой группы — Каллисто — имеет период немного меньший, чем удвоенный период Ганимеда. Согласно третьему закону Кеплера, орбитальные радиусы тел связаны аналогичным отношением, только множитель 2 следует заменить той же двойкой в степени 2/3, что дает нам коэффициент 1,58. То есть орбитальный радиус каждого спутника должен быть примерно в 1,58 раза больше орбитального радиуса предыдущего спутника. Это тот случай, когда резонанс не расчищает, а стабилизирует орбиты, и отношение расстояний здесь 1,58 вместо 2 по закону Тициуса — Боде. Тем не менее расстояния тоже подчиняются степенному закону. Сказанное можно отнести также к лунам Сатурна и Урана, как указал Стенли Дермотт в 1960-е[27]. Такое распределение спутников называют законом Дермотта.
Расстояния, связанные степенным законом, представляют собой более общую закономерность, в которую входит и хорошая аппроксимация закона Тициуса — Боде. В 1994 году Беранжер Дюбрюль и Франсуа Гране, применив два общих принципа, вывели степенной закон распределения расстояний для типичных коллапсирующих солнечных туманностей. Оба принципа основаны на симметрии. Облако обладает осевой симметрией; кроме того, распределение вещества в нем примерно одинаково на всех масштабах измерения — это
