Большое космическое путешествие

импульс, который лаборатория получит от двух фотонов, равен импульсу, который был передан летящим вправо фотоном hν₀[1 + (v/c)]/с минус импульс, сообщенный фотоном, летящим влево, hν₀[1 – (v/c)]/с. Имеем формулу 2hν₀(v/c2) для общего импульса вправо, который два фотона сообщают лаборатории. Лаборатория приобретает такой общий импульс, поскольку более высокочастотный (голубой) фотон, летящий вправо, ударяет стену сильнее, и этот удар не компенсируется более слабым толчком, который сообщает летящий влево более низкочастотный (красный) фотон. Итак, 2hν₀ = ΔE – это всего лишь энергия, испускаемая частицей в виде двух фотонов. Направленный вправо импульс, полученный лабораторией, равен ΔE v/c².Множитель v/c² получается из множителя v/c, обусловленного доплеровским смещением, и множителя 1/c в силу соотношения импульса и энергии, которую несут фотоны.

По закону сохранения импульса величина импульса, приобретенного лабораторией, должна быть равна величине импульса, потерянного частицей. Импульс частицы равен mv (поскольку v << c, формула Ньютона для импульса в данном случае точна). Скорость частицы не изменяется, и поэтому потерять часть импульса mv частица может лишь одним способом – потеряв часть массы. Уменьшение ее импульса составляет vΔm, где Δm – масса, утраченная частицей.

Приравняв ΔE v/c² = vΔm, находим, что ΔE/c² = Δm. Невысокая скорость v нашей частицы сокращается! Поскольку v << c, ответ не зависит от v. Умножив обе части формулы на c², получим ΔE= Δmc². Частица теряет массу. Количество утраченной массы Δm, умноженное на c², дает количество энергии, унесенной фотонами ΔE. Убираем знаки «дельта» (Δ) с обеих сторон тождества и получаем E= mc². Энергия, отдаваемая двумя фотонами, равна произведению массы, которую утрачивает частица, на скорость света в квадрате c². Теряя массу, частица испускает некоторое количество энергии, определяемое по формуле E = mc². Во множестве книг объясняется важность этой формулы и рассказывается, как она устроена, но там не пишут, как выводится эта формула. Теперь мы вам об этом рассказали.

Приложение 2

Бекенштейн, энтропия черных дыр и информация

На современных шестидюймовых[48] жестких дисках можно хранить примерно по 5 терабайт, или 4 × 10¹³ бит, информации. Сколько бит информации, в принципе, возможно записать на шестидюймовый жесткий диск? Во-первых, поскольку это мысленный эксперимент, вообразим, что наш жесткий диск сферический – так мы сможем вложить в этот объем максимум информации. Наш жесткий диск получится размером примерно с грейпфрут, его радиус составит 7,5 см. Бекенштейн показал, что черная дыра обладает конечной энтропией, пропорциональной площади ее горизонта событий. В итоге оказалось, что энтропия горизонта черной дыры (S) в точности равна 1/4 площади горизонта событий, если измерить эту площадь в планковских единицах в квадрате (в конечном итоге точное значение вычислил Хокинг). В планковских единицах площадь поверхности черной дыры радиусом 7,5 см составляет 4π(7,5 см/1,6 × 10^–33 см)² = 2,76 × 10⁶⁸. Четверть от этого значения составит энтропия S = 6,9 × 10⁶⁷. Конкретное значение энтропии (возрастания неупорядоченности) соответствует конкретной мере уничтожения информации. Количество битов этой информации, соответствующее энтропии S, составляет S/ln 2. Натуральный логарифм от 2 (обозначенный в этой формуле «ln 2») равен 0,69. Здесь присутствует двойка, так как один бит информации – это один ответ на вопрос «да/нет», то есть вопрос, предполагающий два варианта ответа. (Например, игра «Да или нет» с 20 вопросами дает 20 битов информации.) Если я скажу вам, что задумал число от 1 до 2²⁰(около миллиона), то, пытаясь его угадать, вы первым делом должны спросить: «Оно во второй половине этого интервала?» Узнав, в какой оно части, продолжайте делить этот диапазон пополам, и через 20 вопросов узнаете, какое число я загадал. Следовательно, возникновение черной дыры радиусом 7,5 см – это повышение неупорядоченности во Вселенной, равное уничтожению 10⁶⁸ бит информации. Есть ₂10⁶⁸ различных способов создать такую черную дыру, взяв для нее 10⁶⁸ бит информации, и, как только черная дыра сформируется, вся эта информация о ее составе будет потеряна. Если на вашем шестидюймовом диске записано более 1068 битов информации, и вы станете подвергать его гравитационному коллапсу, сжимая, пока он не превратится в микроскопическую черную дыру, то вся эта информация будет потеряна. Впрочем, вы не сможете создать микроскопическую черную дыру, поскольку при черная дыра, при образовании которой теряется более 10⁶⁸ битов информации, должна иметь диаметр больше 6 дюймов. Противоречие. Что же произойдет на самом деле, если мы попытаемся впихнуть все больше и больше информации на жесткий диск с фиксированным радиусом 7,5 см? Его масса будет расти и расти, пока не наступит момент, когда на нем окажется 10⁶⁸ бит информации, а масса диска в 8,4 раза превысит массу Земли и он сколлапсирует, превратившись в черную дыру. Следовательно, 10⁶⁸ бит информации (1,16 × 10⁵⁸гигабайт) – предельное количество информации, которое можно сохранить на шестидюймовом жестком диске.

Список литературы

Abbott, E.A. Flatland. New York: Dover, 1992.

Bienen, H.S., and N. van de Walle. Of Time and Power. Stanford, CA: Stanford University Press, 1991.

Brown, M. How I Killed Pluto and Why It Had It Coming. New York: Spiegel & Grau/Random House, 2010. (Перевод: Майк Браун, Как я убил Плутон и почему это было неизбежно, М.: Карьера Пресс, 2012.)

Ferris, T. The Whole Shebang. New York: Simon and Schuster, 1997.

Feynman, R. The Character of Physical Law. Cambridge, MA: MIT Press, 1994. (Перевод: Ричард Фейнман, Характер физических законов, М.: АСТ, 2016.)

Gamow, G. One, Two, Three… Infinity. New York: Dover, 1947.

Goldberg, D. The Universe in the Rearview Mirror. Boston: Dutton/Penguin, 2013.

Goldberg, D., and J. Blomquist. A User’s Guide to the Universe. Hoboken, NJ: Wiley, 2010.

Gott, J. Richard. Time Travel in Einstein’s Universe. Boston: Houghton Mifflin, 2001.

Gott, J. Richard. The Cosmic Web. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2016.

Gott, J. Richard, and R.J. Vanderbei. Sizing Up the Universe. Washington, DC: National Geographic, 2010.

Gould, S.J. Wonderful Life. New York: W.W. Norton, 1989.

Greene, B. The Elegant Universe. New York: Vintage Books, 1999. (Перевод: Брайан Грин, Элегантная Вселенная, М.: Либроком, 2017.)

Hawking, S.W. A Brief History of Time. New York: Bantam Books, 1988. (Перевод: Стивен Хокинг, Краткая история времени, М.: АСТ, 2017.)

Kaku,