Могут ли быть математическими пространство-время и «материя»?
Итак, пространство-время может рассматриваться как математическая структура. Но что можно сказать о материи, находящейся в пространстве-времени, скажем о книге, которую вы сейчас читаете? Как всё это может быть частью математической структуры?
В последние годы мы видели, что разнообразные вещи, которые казались совершено не связанными с математикой, например тексты, звуки, изображения, фильмы, представляются математически с помощью компьютеров и передаются по интернету в виде наборов чисел. Присмотримся поближе к тому, как компьютеры это делают: природа делает нечто очень похожее, чтобы представить всё окружающее нас вещество.
Я только что набрал на клавиатуре английское слово word, и лэптоп представил его в памяти последовательностью из четырёх чисел: 119 111 114 100. Каждую строчную букву он передаёт числом, равным 96 плюс порядковый номер буквы в алфавите (a = 97, w = 119 и т. д.). Одновременно мой компьютер играл композицию De Profundis Арво Пярта, которая тоже представляется последовательностью чисел. Эти числа интерпретируются не как буквы, а как положения, которые должны занимать мембраны аудиоколонок в каждое из 44 100 различных мгновений каждой секунды, что, в свою очередь, вызывает колебания воздуха, которые мои уши и мозг интерпретируют как звук. Когда я нажал клавишу w, лэптоп воспроизвёл на дисплее изображение w, также представленное числами. Хотя изображения на дисплее кажутся гладкими и непрерывными, в действительности он состоит из 1920 × 1200 пикселов, расположенных в виде прямоугольной сетки (рис. 11.3), и цвет каждого пиксела представляется тремя числами в диапазоне от 0 до 255 каждое, задающими интенсивность идущего от пикселя красного, зелёного и голубого света. Подходящее сочетание этих трёх цветов позволяет воспроизвести все интенсивности всех цветов радуги. Прошлым вечером, когда мы с сыновьями смотрели видео с Youtube, лэптоп делил на пикселы не только два пространственных измерения дисплея, но и временное измерение, разбивая его на 30 кадров в секунду.
Физики часто моделируют в трехмерии некоторые явления вроде урагана, вспышки сверхновой или образования планетной системы. Для этого мы делим трёхмерное пространство на трёхмерные пикселы (вокселы). Мы также делим четырёхмерное пространство-время на четырёхмерные вокселы. Каждый четырёхмерный воксел представляет, что происходит в соответствующем месте и времени с помощью группы чисел, кодирующих всё, что имеет отношение к делу, скажем, температуру, давление, плотности и скорости различных веществ в вокселе. Например, при моделировании Солнечной системы воксел, соответствующий центру Солнца, будет содержать чрезвычайно большое число, выражающее температуру, а воксел за пределами Солнца, содержащий почти пустое пространство, будет иметь близкое к нулю число, выражающее давление. Числа в соседних вокселах удовлетворяют некоторым соотношениям, которые описываются математическими уравнениями, а когда компьютер выполняет моделирование, он, подобно игроку в судоку, пользуется этими соотношениями, чтобы определять отсутствующие числа. Если компьютер готовит прогноз погоды, то пространственно-временные вокселы, соответствующие настоящему моменту, заполняются измеренными значениями давления воздуха, температуры воздуха и т. д. Компьютер затем применяет соответствующие уравнения для вычисления значений, которые записываются в пространственно-временные вокселы, соответствующие завтрашнему дню и остальным дням недели.
Рис. 11.3. Компьютеры обычно представляют полутоновые изображения, храня число для каждой точки (пиксела) фотографии (самая правая картинка). Чем больше число, тем выше интенсивность света от данного пиксела: 0 представляет чёрный цвет (нет никакого света), а 255 — белый цвет. Подобным же образом так называемые поля в классической физике представляются в каждой точке пространства-времени числом, которое, грубо говоря, задаёт количество «материи», присутствующей в каждой точке.
Подобные симуляции, математически отображающие некоторые аспекты внешней физической реальности, делают это приближённо. Пространство-время, конечно, не состоит из грубых вокселов, которые применяются для моделирования погоды, и это одна из причин, по которой метеорологические прогнозы часто неточны. И всё же мысль, что с каждой точкой пространства-времени связана группа чисел, весьма глубока, и, я думаю, она кое-что говорит нам не только о нашем описании реальности, но и о самой реальности. Одно из фундаментальных понятий современной физики, поле, устроено именно так: это нечто, представимое числами в каждой точке пространства-времени. Например, существует поле температур, соответствующее воздуху вокруг нас: в каждой точке имеется строго определённая температура, не зависящая от любых изобретённых человеком вокселов, и её значение можно измерить с помощью термометра (или пальца, если не требуется высокой точности). Существует также поле давления: в каждой точке есть число, выражающее давление — его можно измерить барометром или своими ушами, которые начинают болеть, если это число сильно отклоняется от нормы, а также воспринимают звук, если давление колеблется во времени.
Сейчас известно, что ни то, ни другое поле не является истинно фундаментальным: они, по сути, показывают, как быстро в среднем движутся молекулы воздуха, и их числа перестают быть чётко определёнными, если попытаться измерить их в субатомных масштабах. Однако существуют другие поля, которые кажутся фундаментальными, образующими часть ткани нашей внешней физической реальности. Магнитное поле определяется не одним (как температура), а тремя числами в каждой точке пространства-времени, задающими его величину и направление. Вы, вероятно, измеряли магнитное поле с помощью компаса, наблюдая, как его стрелка устанавливается вдоль магнитного поля Земли, направленного к северу. Стрелка выравнивается быстрее, если магнитное поле сильнее — например вблизи магнитно-резонансного томографа. Другой пример — электрическое поле, которое также представляется тремя числами, задающими его величину и направление. Простой способ измерить его — по силе, с которой оно действует на заряженный объект, например, когда ваши волосы электрически притягиваются к пластмассовой расчёске. Электрическое и магнитное поля можно элегантно объединить в электромагнитное поле (представляется шестью числами в каждой точке пространства-времени). Свет — это волны, бегущие по электромагнитному полю (гл. 7), и если наш физический мир — это математическая структура, то весь свет во Вселенной (который кажется нам физическим) связан с шестью числами в каждой точке пространства-времени (чисто математической сущностью). Эти числа подчиняются математическим соотношениям — уравнениям Максвелла (рис. 10.4).
Следует сделать оговорку: то, что я сейчас описал, соответствует пониманию электричества, магнетизма и света в классической физике. Квантовая механика
