Каково наибольшее среди чисел, на которые нацело делятся одновременно 986 и 748? Простейший способ ответить на вопрос – перепробовать все варианты. Разумеется, 986 и 748 делятся на 1. Несложно видеть, что на 2 они тоже делятся. Но ни то ни другое число не делится на 3. Одно из них, 748, делится на 4, а другое нет. Нам «всего-навсего» нужно перебрать все делители и сравнить их. Мы остановимся после 748, потому что дальше числа не могут быть делителями 748. Наконец мы выясним, что у 748 и 986 четыре общих делителя: 1, 2, 17 и 34. Наибольший общий делитель 748 и 986 равен 34. Для любых положительных целых чисел a и b запись НОД (a, b) означает их наибольший общий делитель[133].
Описанный выше метод дает незамысловатый и неоспоримый алгоритм поиска наибольшего общего делителя. Его слабая сторона – неэффективность. Для поиска НОД двух трехзначных чисел придется перебрать сотни вариантов. Может быть, есть что-нибудь попроще?
Присмотримся к числам 986 и 748 повнимательней. Мы ищем наибольший общий делитель, поэтому естественно разложить оба числа на простые множители[134] (см. главу 1). Вот результат:
986 = 2 × 17 × 29;
748 = 2 × 2 × 11 × 17.
С помощью этого разложения на простые множители мы можем найти НОД, пуская в дело все простые числа, на которые делятся оба наших числа. Оба делятся на 2 и на 17, потому наибольший общий делитель очевидным образом равен 2 × 17 = 34.
Как разложить число на простые множители самым эффективным способом? Ответ неутешителен: мы этого не знаем (как уже отмечалось в главе 1). Нам нужна идея получше.
Еще одну идею нам подсказал Евклид. Допустим, d – общий делитель 986 и 748. Это означает, что
986 = xd, 748 = yd,
где x и y – целые числа. Следовательно, d также является делителем разности 986 – 748. Это следует из нехитрых алгебраических выкладок:
986 – 748 = xd – yd = (x – y) d.
Так как x и y целые числа, их разность тоже целое число. Потому разность 986 и 748 тоже нацело делится на d. Заметим, что 986–748 = 238.
Точно так же общий делитель 748 и 238 является делителем 986. Почему? Если e – общий делитель 748 и 238, то
748 = ue, 238 = ve,
где u и v – целые числа. Таким образом,
986 = 748 + 238 = ue + ve = (u + v) e,
откуда мы делаем заключение, что e – делитель 986.
Вывод: общие делители 986 и 748 являются также общими делителями 748 и 238. Для иллюстрации запишем делители всех трех чисел, подчеркивая общие делители:
делители 986 → , , , 29, , 58, 493, 986;
делители 748 → , , 4, 11, , 22, , 44, 68, 187, 374, 748;
делители 238 → , , 7, 14, , , 119, 238.
Отсюда следует, что
НОД (986, 748) = НОД (748, 238). (A)
Таким образом, поиск наибольшего общего делителя 986 и 748 свелся к поиску наибольшего общего делителя 748 и 238. Прогресс, теперь мы имеем дело с числами поменьше. Проделаем то же самое еще раз.
Если некое d – общий делитель 238 и 748, оно также делитель их разности. Этим дело не ограничивается. Мы можем вычесть 238 из 748 несколько раз, и d будет оставаться делителем разностей. Точнее говоря, если 238 и 748 делятся на d, разность 748 – 3 × 238 тоже делится на d. Обратимся к алгебре, чтобы доказать это.
748 = xd, 238 = yd,
где x и y – целые числа. Следовательно,
748 – 3 × 238 = xd – 3yd = (x – 3y) d.
Таким образом, d – делитель 748 – 3 × 238 = 34. И наоборот: если e – делитель 34 и 238, это также делитель 748. Вернемся к алгебре.
238 = ue, 34 = ve,
где u и v – целые числа. Таким образом,
748 = 3 × 238 + 34 = 3ue + ve = (3u + v) e.
Таким образом, e – делитель 748. Следовательно, у 748, 238 и 34 есть общие делители, и мы можем сделать вывод, что
НОД (748, 238) = НОД (238, 34). (B)
На основе тождеств (A) и (B) мы имеем:
НОД (986, 748) = НОД (748, 238) = НОД (238, 34).
Мы почти у цели. Обратим внимание, что 238 делится на 34 (потому что 238 = 34 × 7), и поэтому НОД (238, 34) = 34. Финальный аккорд:
НОД (986, 748) = НОД (748, 238) = НОД (238, 34) = 34.
Подытожим: через какие этапы мы пришли к этому результату? Мы вычли 748 из 986 и получили 238. Мы трижды вычли 238 из 748. Почему мы совершили одну операцию вычитания в первом случае и три операции во втором? Мы хотели свести задачу к операциям с как можно меньшими числами, потому что так удобнее. Поэтому мы вычитали меньшее число из большего до упора. Заметим: 748 умещается в 986 всего один раз, и разница между ними равна 238. Однако 238 умещается внутри 748 три раза, и остаток равен 34. Мы можем вычесть 748 из 986 всего один раз, и в то же время мы можем вычесть 238 из 748 три раза.
Теперь мы обобщим этот пример и построим алгоритм вычисления наибольшего общего делителя для двух целых положительных чисел. Нам даны два целых положительных числа a, b, и мы хотим определить НОД (a, b). При этом a больше b. Мы должны вычесть b из a как можно большее число раз. Чтобы выяснить, сколько именно, поделим a на b. Мы получим частное q и остаток c. На языке алгебры:
a – qb = c.
Если окажется, что b – делитель a, тогда остаток будет равен нулю. В ином случае c больше нуля и меньше b (если бы c оказалось больше b, мы смогли бы вычесть b из a еще раз[135]).
Теперь предположим, что d – общий делитель a и b. Тогда
a = xd, b = yd,
где x и y – целые числа. Следовательно,
c = a – qb = xd – q (yd) = (x – qy) d,
и c тоже без остатка делится на d (потому что x – qy входит в множество целых чисел).
С
