Ошеломительная теорема Морли[146] утверждает, что этот малый треугольник всегда будет равносторонним!
Можно отыскать и другой равносторонний треугольник, сопутствующий любому произвольно взятому треугольнику. Построим на трех сторонах треугольника (на рисунке он начерчен жирными линиями) три равносторонних треугольника (начерчены тонкими линиями). Отметим центры этих равносторонних треугольников:
Соединим три центра и – вуаля! – получим очередной равносторонний треугольник.
Нарисуем четырехугольник с целочисленными вершинами на клетчатой бумаге и проведите диагональ. Таким образом, мы получаем два треугольника с общей стороной:
Мы можем посчитать площади двух треугольников, пользуясь теоремой Пика, а затем сложить получившиеся величины. Обозначим эти два треугольника L и R и получим:
Таким образом, площадь четырехугольника равна 16 + 36 = 52.
Но, ко всеобщему восхищению, теорема Пика верна также для четырехугольников! И вот почему.
Вместо нового пересчета точек давайте воспользуемся результатами, уже полученными ранее.
Внутри левого треугольника 13 точек, внутри правого – 31 точка. Обратите внимание, что три точки на диагонали тоже лежат внутри четырехугольника; включим их в наши расчеты. Это дает = 31 + 13 + 3 = 47.
Что касается границ четырехугольника, мы видим 8 точек на границе левого треугольника и еще 12 – на границе правого, то есть в общей сложности 20 точек. Но тут мы немного перебрали. Три точки на диагонали четырехугольника включать не надо; кроме того, мы посчитали их дважды. Таким образом, нужно вычесть 6. Две точки на концах диагонали тоже посчитаны дважды, потому вычтем еще 2, чтобы компенсировать перебор. Это дает = 20–6–2 = 12.
Последний рывок:
Невероятно! Это правильный ответ! Как такое возможно?
Площади двух треугольников, и , дают в сумме:
Это не что иное, как площадь четырехугольника. Перегруппируем слагаемые:
Величина + не включает некоторые точки внутри четырехугольника, а величина + оказывается слишком большой из-за точек на границах. Точки на диагонали четырехугольника мы неосмотрительно посчитали дважды, хотя на самом деле они принадлежат величине (и деление пополам исправляет эту оплошность). Конечные точки диагонали тоже оказались посчитаны дважды, когда мы вычисляли точки на границах. Деление на 2 исправляет эту оплошность лишь наполовину, но вычитание 2 (а не 1) ставит все на свои места!
Вы не поверите, но теорема Пика работает для любого многоугольника с целочисленными вершинами.
Центры треугольника вне треугольникаЕсли треугольник тупоугольный (то есть один из его углов больше 90°), центр описанной окружности и ортоцентр лежат вне треугольника. На рисунке приведен пример окружности, описанной около тупоугольного треугольника.
Найти ортоцентр тупоугольного треугольника несколько сложнее. Фокус состоит в том, чтобы продолжить его стороны, пока они не пересекутся с соответствующими высотами.
В треугольнике мы делаем следующие дополнительные построения: (1) проводим через точку прямую, перпендикулярную (эту сторону необходимо продолжить); (2) проводим через точку прямую, перпендикулярную ; (3) проводим через точку прямую, перпендикулярную (ее также необходимо продолжить). Точка пересечения этих прямых и есть ортоцентр.
Глава 14
Пифагор и ферма
Страшила из книги «Волшебник страны Оз» так и не обрел мозги, но получил диплом. Он с гордостью продемонстрировал свой усовершенствованный интеллект, сформулировав абсолютно исковерканную теорему Пифагора: «Сумма квадратных корней из двух сторон равнобедренного треугольника равна квадратному корню из третьей стороны».
На самом деле теорема Пифагора ничего не говорит о равнобедренных треугольниках[147]. Она увязывает длины сторон прямоугольного треугольника (один из углов в этом треугольнике прямой, то есть равен 90°).
Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника (то есть сторон, образующих прямой угол) буквами a и b, а длину гипотенузы (стороны напротив прямого угла) – буквой c.
Теорема Пифагора гласит:
a² + b² = c².
Вот словесная формулировка (несомненно, именно это и намеревался сказать Страшила):
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов[148].
Наше доказательство будет базироваться на рассечении большой фигуры на малые: мы сгруппируем несколько прямоугольных треугольников в одну фигуру, посчитаем сначала ее площадь, а потом сумму площадей образующих ее фрагментов и – вуаля! – докажем теорему Пифагора.
Расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой c так, чтобы они образовали квадрат со стороной a + b:
Очевидно, что площадь квадрата равна (a + b) ² = a² + 2ab + b².
Теперь рассечем большой квадрат на пять составных частей: малый квадрат со стороной c и четыре треугольника; сложим треугольники попарно в два прямоугольника со сторонами a и b:
Общая площадь этих фигур – c² + 2ab.
Очевидно, что площадь большого квадрата равна площади составляющих его частей:
a² + 2ab + b² = c² + 2ab.
Когда мы вычтем из обеих частей тождества 2ab, теорема Пифагора будет доказана[149].
Вот другое доказательство, тоже основанное на рассечении некой геометрической фигуры.
Расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника так, чтобы они образовали квадрат c × c:
Общая площадь этой фигуры с². Посчитайте самостоятельно сумму площадей треугольников и малого квадрата в центре. Ответ вы найдете в конце главы.
Еще одно доказательство на основе рассечения геометрической фигуры придумал Джеймс Гарфилд, 20-й президент Соединенных Штатов[150].
Сгруппируем три прямоугольных треугольника, два одинаковых поменьше и один побольше, чтобы они образовали трапецию[151]:
Посчитайте сначала площадь трапеции, а затем сумму площадей образующих ее треугольников. Ответ – в конце главы.
Абсолютная величина комплексного числа[152]Вычислить абсолютную величину[153] числа означает лишить его минуса, если оно отрицательное. Например, | – 5 | = 5. Иными словами, число –5 включает 5 единиц.
Более точное определение абсолютной величины:
Например, |12 | = 12, | – 7 | = 7, |0 | = 0.
Вот геометрическая интерпретация: абсолютная величина числа x – это расстояние между точкой с координатой x и точкой с координатой 0 на числовой оси:
Абсолютная величина показывает, насколько число удалено влево или вправо от нуля; знак числа (плюс или минус) не играет роли.
Как мы распространим идею абсолютной величины на комплексные числа? Что значит |3 + 4i|? Мы не можем сказать, отрицательно или положительно число 3 + 4i. Эти термины неприменимы к комплексным числам. Наша цель – выяснить, насколько комплексное число удалено от нуля. Для этого нам необходима геометрическая интерпретация комплексного числа. Действительное число задает точку на числовой прямой; комплексное задает точку на плоскости. Например, комплексное число
