Путеводитель для влюбленных в математику

исходным значением 0,1. Пунктирная линия иллюстрирует итерирование системы с исходным значением 0,10001.

Каково значение f¹⁰⁰⁰ (0,1)? К чему мы придем, если мы проделаем тысячу итераций функции f(x) = 3,9 x (1 – x)?

Разумеется, мы доверяем вычисления компьютеру, но получается какая-то чепуха. Проиллюстрируем этот факт, проделав вычисления трижды с разным уровнем точности (заданным количеством знаков после запятой). Мы получим следующие результаты:

Ни одна из этих величин не равна f ¹⁰⁰⁰ (0,1) в точности.

Мы будем биться до последней капли крови. Компьютер может работать с произвольной точностью. Он может не округлять полученное значение. К чему это приведет?

Точное значение f ⁶ (0,1) имеет длину 127 знаков после запятой, а точное значение f ⁷ (0,1) растягивается после запятой на 255 знаков. Количество знаков после запятой увеличится примерно вдвое на каждой итерации. Нет настолько мощного компьютера, чтобы вычислить точное значение f¹⁰⁰⁰ (0,1).

К чему мы пришли? Несмотря на то что мы знаем исходное состояние системы и правило перехода от одного шага к другому, мы не в силах в точности предугадать ее состояние на 1000-м шаге.

Можно доказать, что точное значение f¹⁰⁰⁰ (0,1) лежит между 0 и 1, и задаться вопросом: какова вероятность того, что f¹⁰⁰⁰ (0,1), скажем, больше 0,5?

Ответ: либо 0, либо 1, потому что здесь нет ничего случайного. Либо f¹⁰⁰⁰ (0,1) > 0,5, либо f¹⁰⁰⁰ (0,1) ≤ 0,5, третьего не дано. Никаких «может быть», ничего случайного.

Даже настолько простая система способна оказаться хаотичной. Она абсолютно детерминирована и в то же время непредсказуема.

Огромное количество математических систем ведет себя хаотично, и многие из них позволяют строить модели явлений природы, например в метеорологии.

3x + 1, или проблема Коллатца[212]

До сих пор мы говорили об итерациях логистических отображений. Мы закончили обсуждением разных типов функций и тернистой, неразрешимой проблемы их итерации.

Логистическое отображение – функция, заданная простой алгебраической формулой. Однако функции можно задавать иначе. Функция F, о которой сейчас пойдет речь, определена исключительно для положительных целых чисел и задана следующим образом:

Эта функция задается двумя простыми алгебраическими формулами, но мы выбираем формулу в зависимости от того, четное число x или нечетное.

Пример:

• F (9) = 28. Число 9 – нечетное, поэтому мы руководствуемся формулой 3х + 1 и получаем 3 × 9 + 1 = 28;

• F (10) = 5. Число 10 – четное, поэтому мы руководствуемся формулой x/2 и получаем 10/2 = 5.

Вне зависимости от того, четное число мы подставляем в функцию или нечетное, ее значение будет целым положительным числом.

Короче говоря, если x – целое положительное число, F (x) – тоже целое положительное число.

Мы можем итерировать нашу функцию, потому что выходное значение удовлетворяет условию, наложенному на входное значение. Что мы получим, итерируя функцию при начальном значении x = 12?

• F (12) = 6, потому что число 10 четное;

• F² (12) = F (6) = 3, потому что число 6 четное;

• F³ (12) = F (3) = 10, потому что число 3 нечетное;

• F⁴ (12) = F (10) = 5.

Вот удобный способ проиллюстрировать итерации. Мы записываем 12 → 6, подразумевая, что значение функции от 12 равно 6. Мы можем записать итерации F следующим образом:

Тройка 4 → 2 → 1 повторяется! А что дальше? Так как F(1) = 4, F(4) = 2, F(2) = 1, следующие три значения те же самые.

Другими словами, когда мы дошли до числа 1, тройка 4 → 2 → 1 будет повторяться до бесконечности.

Начнем с другой величины, скажем с 9. Вот что мы имеем: 9 → 28 → 14 → 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Вот еще один впечатляющий ряд итераций:

27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137 → 412 → 206 → 103 → 310 → 155 → 466 → 233 → 700 → 350 → 175 → 526 → 263 → 790 → 395 → 1186 → 593 → 1780 → 890 → 445 → 1336 → 668 → 334 → 167 → 502 → 251 → 754 → 377 → 1132 → 566 → 283 → 850 → 425 → 1276 → 638 → 319 → 958 → 479 → 1438 → 719 → 2158 → 1079 → 3238 → 1619 → 4858 → 2429 → 7288 → 3644 → 1822 → 911 → 2734 → 1367 → 4102 → 2051 → 6154 → 3077 → 9232 → 4616 → 2308 → 1154 → 577 → 1732 → 866 → 433 → 1300 → 650 → 325 → 976 → 488 → 244 → 122 → 61 → 184 → 92 → 46 → 23 → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Мы снова дошли до 1, но после ста с лишним итераций.

Гипотеза Коллатца[213] заключалась в том, что вне зависимости от того, с какого целого положительного числа x мы начинаем, последовательность итераций рано или поздно достигает единицы и тройка 4 → 2 → 1 повторяется до бесконечности.

Проблема была решена самым умопомрачительным образом – штурм потребовал чудовищной дотошности математиков-профессионалов и математиков-любителей.

Глава 22

Демократический выбор и теорема Эрроу

Демократия – процесс, основанный на предпочтениях членов общества. Людям дают возможность выразить свое мнение (путем голосования) и затем учитывают их голоса, когда принимают окончательное решение.

Выбор в случае двух кандидатов

Знакомая всем демократическая процедура – выборы, на которых два кандидата претендуют на одну и ту же должность. Избиратели отдают голоса за первого или второго кандидата, и побеждает тот, кто наберет больше голосов.

Ключевая фраза: побеждает тот, кто наберет больше голосов – краеугольный камень демократического общества. Но насколько справедлив этот принцип?

Вообразим, что два кандидата, претендующих на одну и ту же должность, зовутся A и B. Избиратели отдают голос за того или другого[214]. Если отдано n голосов, данные голосования выглядят следующим образом[215]:

Как используется такой профиль предпочтений для принятия решения? Обычно просто подсчитывают, сколько голосов было отдано за каждого кандидата. Победителем оказывается тот,