Путеводитель для влюбленных в математику

любит стейки. Индийская и греческая кухня остались в меньшинстве, но собрали равное число голосов.

Однако абсолютно все отметили ресторан со шведским столом в качестве второго приоритета. Это выглядит хорошим компромиссом, и мудрый босс выбирает заведение со шведским столом для корпоратива. Можно ли построить аналогичный метод принятия решения на выборах?

Профиль предпочтений против бюллетеней

Мы не обсуждали, как именно избиратели заявляют о своих предпочтениях; мы просто исходили из того, что знаем, как каждый избиратель ранжирует кандидатов. Профиль предпочтений – это совокупность списков приоритетов всех избирателей.

Обычно избиратель отмечает в бюллетене одного кандидата, так что возможности расставить приоритеты нет. Такое оправдано, если мы руководствуемся правилом большинства: имеет значение только первый приоритет избирателя.

Иногда используют бюллетени, где можно отметить более одного кандидата. Если руководствоваться правилом первых двух приоритетов, избирателям нужно будет указать двух самых предпочитаемых кандидатов, и нет необходимости уточнять, кто из них важнее.

В этой главе мы принимаем за данность, что у каждого избирателя есть свой рейтинг кандидатов и что заполненный бюллетень дает достаточно информации для использования того или иного метода. В случае правила диктатора ни один бюллетень, кроме бюллетеня диктатора, не имеет значения, а в случае метода Борда (о нем пойдет речь дальше) необходимо знать, на какое место каждый избиратель ставит каждого кандидата.

Иными словами, мы разрабатываем такой бюллетень, который даст достаточно информации для использования выбранного нами метода.

Существует множество методов для проведения выборов, когда кандидатов более двух. Правило большинства идеально подходит в случае выборов среди двух кандидатов, но в других ситуациях кандидат может не получить больше 50 % голосов и, как показывает наш пример с ресторанами, тогда становится неясно, как принять «верное» решение.

Давайте обсудим несколько методов принятия решений и выясним, какой из них самый лучше. Будем использовать следующий профиль предпочтений:

Профиль предпочтений в случае трех кандидатов

• Правило большинства. Это наиболее распространенный метод. Мы выясняем, за какого кандидата отдано наибольшее число голосов, причем не обязательно больше половины. В вышеуказанном профиле предпочтений кандидата А выбрало наибольшее число избирателей (шесть), затем идет В (пять), на последнем месте С (два). По правилу большинства побеждает А.

• Правило первых двух приоритетов. Проблема правила большинства состоит в том, что оно не учитывает рейтинг предпочтений. Правило первых двух приоритетов основано на подсчете того, как много избирателей поставили кандидата на первое или второе место. Для вышеуказанного профиля предпочтений:

– A получил 6 + 1 = 7 голосов (шесть раз на первом месте и один раз на втором);

– В получил 5 + 4 = 9 голосов (пять раз на первом месте, четыре раза на втором);

– С получил 2 + 8 = 10 голосов (дважды на первом месте и восемь раз на втором).

Таким образом, по правилу первых двух приоритетов побеждает С.

• Метод Борда. Если мы руководствуемся правилом большинства, то не учитываем, кого каждый избиратель ставил на второе место. В правиле первых двух приоритетов второй приоритет имеет тот же вес, что и первый. Метод Борда – компромисс между ними[225].

Он заключается в том, что первый приоритет избирателя приносит кандидату 2 очка, второй приоритет – 1 очко, третий приоритет – ни одного очка. Дальше мы складываем очки. Побеждает тот кандидат, у кого их окажется больше.

Давайте проанализируем, как работает метод Борда в случае рассмотренного выше профиля предпочтений:

– кандидат A имеет первый приоритет у шести избирателей и второй – у одного, таким образом, он набирает 6 × 2 + 1 × 1 = 13 очков;

– кандидат B имеет первый приоритет у пяти избирателей и второй – у четырех, таким образом, он набирает 5 × 2 + 4 × 1 = 14 очков;

– кандидат C имеет первый приоритет у двух избирателей и второй – у восьми, таким образом, он набирает 2 × 2 + 8 × 1 = 12 очков.

В соответствии с методом Борда победителем станет кандидат B.

Нарисуем сводную таблицу победителей для одного и того же профиля предпочтений при использовании трех разных методов:

Результат обескураживает. Сложно обвинить какой-либо из трех методов в нелепости (в отличие от правила нечетности или правила меньшинства). Все три подхода удовлетворяют критериям честности: им свойственны нейтральность учета избирателей, нейтральность учета кандидатов и монотонность, потому нельзя отбраковать хотя бы один из них на этом основании. Может быть, мы найдем еще какой-нибудь критерий честности, чтобы выбрать «наилучший» метод?

Независимость от посторонних альтернатив

Последний критерий справедливости, который я рассмотрю в этой главе, называется независимость от посторонних альтернатив. Он носит более изощренный характер, чем другие критерии, поэтому я начну с простого примера.

Вообразите, что ваша подружка выбирает десерт после ужина в ресторане. В меню указаны три варианта: торт, пирог и мороженое. Девушка заказывает мороженое. Официант, приняв ее заказ, говорит вам: «О, похоже, у нас закончились пироги». Тут девушка отвечает: «В таком случае я закажу торт!»

Что за чушь? Если она предпочитает мороженое (а не торт и не пирог), нет никакой разницы, остались ли в ресторане пироги. Но перемена выбора вашей подружки связана именно с фактом отсутствия пирогов, это не совпадение. Есть искушение заподозрить, все ли у нее в порядке с головой!

Мы ожидаем, что методы принятия решений будут разумными. Допустим, некий метод провозглашает кандидата X победителем на основании определенного профиля предпочтений. Допустим также, что другой кандидат, Y, снимает свою кандидатуру (и ни один избиратель не меняет своего мнения). В таком случае X должен остаться победителем. Если метод удовлетворяет такому условию, это и есть независимость от посторонних альтернатив.

Подумаем в том же ключе о правиле большинства. Для рассмотренного выше профиля предпочтений этот метод провозглашает победителем A. Теперь представим, что C снимает кандидатуру. Профиль предпочтений меняется следующим образом:

На сей раз победителем становится кандидат B! Таким образом, правило большинства не удовлетворяет критерию независимости от посторонних альтернатив.

Может быть, правило первых двух приоритетов лучше? На основе того же профиля предпочтений победителем становится C. Что произойдет, если A сойдет с дистанции? Останется всего два кандидата! Тут мы заходим в тупик. Вот вам головоломка: попробуйте составить такой профиль предпочтений при голосовании за четырех кандидатов (A, B, C, D), чтобы правило первых двух приоритетов провозглашало победителем A, но если бы из гонки выбыл D, победителем стал бы B. Ответ я дам в конце главы.

Наконец, протестируем метод Борда. Он провозглашает победителем B, но если C выбывает, победителем становится A.

Ни один из трех методов не удовлетворяет критерию независимости от посторонних альтернатив.

Спокойствие, только спокойствие! Есть множество других методов. Разумеется, какие-нибудь из них удовлетворяют критерию независимости от посторонних альтернатив. Например, правило диктатора (если кандидат