18
Мы не даем доказательства основной теоремы арифметики. Его можно найти в большинстве книг по теории чисел – области математики, изучающей свойства чисел.
19
Возведение числа в нулевую степень – пример пустого произведения. По определению, 10ⁿ представляет собой результат умножения числа 10 на само себя n раз. В случае n = 0 значение выражения 100 равно 1: это результат перемножения при отсутствии элементов!
20
Евклид – автор геометрического трактата «Начала», вершины античной математики. Его научная деятельность протекала в Александрии на рубеже IV и III веков до н. э. – Прим. пер.
21
Подобным образом преступника ловят на лжи. «Вы утверждаете, что были дома в ту ночь, мистер Нулик?» – «Да». – «Чем вы занимались?» – «Телевизор смотрел». – «А вы в курсе, что в тот вечер отключали электричество?» – «Э…» Очевидно, что мистер Нулик в столь поздний час не смотрел телевизор!
22
Представим себе, что последнее простое число равно 13. Тогда N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1 = 30 031.
23
Есть изощренные методы, позволяющие установить, является число простым или составным. С их помощью можно легко решить эту задачу даже на домашнем компьютере.
24
Вообще говоря, это утверждение надо доказать. В частности, надо доказать, что удалена точно, а не приблизительно треть. – Прим. науч. ред.
25
Дадим зарок не пользоваться ничем, кроме карандаша и бумаги, и попробуем самостоятельно убедиться в том, что перемножать простые числа сравнительно легко, а раскладывать их произведение на множители – сложно. Для начала умножим 227 на 281. Если ни на что не отвлекаться, можно найти шестизначный ответ за пару минут. А теперь попробуйте найти без калькулятора два трехзначных простых множителя числа 211 591. Это не так-то просто. Ответ будет в конце главы.
26
Термин «открытый ключ» означает, что раскрытие алгоритма шифрования – ключ к нему находится в открытом доступе – еще не рассекречивает сообщение. Один из таких алгоритмов изобрели в 1970-е Рон Ривест (Ron Rivest), Ади Шамир (Adi Shamir) и Леонард Адлеман (Leonard Adleman); по первым буквам их фамилий метод назвали RSA.
27
Криптографические системы на основе перемножения простых чисел будут эффективны лишь до тех пор, пока ученые не усовершенствуют квантовые компьютеры, где логические элементы (кубиты) могут находиться в состоянии 0 и 1 одновременно. Теоретически так называемый алгоритм Шора с помощью квантового компьютера способен разложить большое число на простые множители почти так же быстро, как происходит само шифрование. – Прим. пер.
Несмотря на то что математики уже больше ста лет знают, что решение задачи о трисекции угла с помощью слепой линейки и циркуля невозможно, все время находятся энтузиасты, предлагающие очередное «решение». Анализ самых остроумных попыток можно найти в книге Андервуда Дадли «Смета трисекций» (A Budget of Trisections).
Один из них равен – i, потому что (– i) × (– i) × (– i) = (– i)³ = i. Но чему равны другие два? Ответ вы найдете в конце главы.
28
Популярный слоган на футболке математика: «Все люди делятся на 10 категорий: те, кто понимает двоичную систему счисления, и те, кто в ней ничего не смыслит». Когда вы прочтете эту главу, вы тоже сможете шутить в этом духе.
29
Позиционная система счисления – это такая система счисления, в которой значение каждого символа в записи числа зависит от его позиции (разряда). – Прим. пер.
30
Предлагаю вам самостоятельно найти алгоритмы для вычитания и деления.
31
Также говорят: система счисления с основанием 2.
32
Напомним, что показатель степени означает, сколько раз мы перемножаем основание: например, 10³ = 10 × 10 × 10. Естественно, 101 = 10. По договоренности, 100 = 1. Это логично, так как каждая следующая степень десяти в десять раз больше предыдущей.
33
В англоязычных странах в качестве разделителя разрядов используется запятая, в России – неразрывный пробел, который ставится только в числах с пятью и более разрядами. – Прим. ред.
34
Чтобы отличить запись в двоичной системе от записи в десятичной, мы будем ставить нижний индекс: 11012 или 110110.
35
В английской традиции записи целую часть десятичного числа от дробной отделяет точка, в русской – запятая. – Прим. ред.
36
В случае с двоичной системой неправильно говорить «десятичная запятая», лучше называть ее двоичной запятой, или запятой в позиционном представлении числа.
37
Программисты нередко пользуются шестнадцатеричной системой счисления. В десятичной системе 10 цифр (от 0 до 9), в шестнадцатеричной нам нужно 16 разных символов, поэтому числа от 10 до 15 обозначают с помощью букв от A до F.
38
До бесконечности (лат.). – Прим. пер.
39
Строго говоря, это утверждение тоже надо доказать. – Прим. науч. ред.
40
