дистрибутивности!
Закон говорит: можно сложить две величины и потом помножить на третью, а можно сначала каждую из двух величин порознь помножить на третью и уж потом результаты умножения сложить между собой — получится то же самое. Как это громоздко в словах и как просто в символической записи. И Буль записал короткую строчку: х (u + v) = xu + xv. Один из самых фундаментальных законов, на которых выросла вся алгебра. А он подметил сейчас то же свойство и в логике.
Немалое открытие. Потому-то через сотню лет советский ученый-инженер Григорий Мартьянов и услышит из уст докладчика в университете то же многозначительное выражение: «Эта структура дистрибутивна…»
Но вот что стало вырисовываться в записной книжке Буля. За сходством между алгеброй и логикой последовали различия. Всем известно, одна величина, сложенная с такой же другой, дает удвоение. Коэффициент два. Икс плюс икс равно два икс. Это твердо, как сама земля.
А в логике? В логике Буль обнаруживал другое. Класс всего белого плюс класс всего белого все равно остается белым. Или класс всех мудрецов плюс опять же класс всех мудрецов будет все тем же классом мудрецов, а не то, что в два раза мудрее. Стало быть, в символической логике икс плюс икс уже не два икс, а просто все тот же самый икс. Складывайте хоть до второго пришествия. Отсюда вывод: в логике сложение двух одинаковых величин не дает удвоения. Алгебра, да не совсем та же алгебра. Она не знает коэффициентов.
Ну, а если помножить? Известно, что всякая величина, помноженная сама на себя, дает степень, возводится в квадрат. Дважды два — четыре. Икс на икс — икс в квадрате.
А в логике? В логике этого тоже не получалось. Белое на белое не становится белым в квадрате, а остается все тем же белым. Икс на икс не дает икс квадрат. Просто икс. Быть человеком и человеком все равно что быть человеком. Отсюда вывод: алгебра понятий не знает и возведения в степень. Алгебра без степеней!
Странная алгебра. И похожая и непохожая. Но все же алгебра, потому что в ней соблюдаются основные законы и потому что выражается она языком символов. Сокращенный птичий язык!
Сила алгебры в том и состоит, что она позволяет оперировать разными символами удобно и просто. И освобождает от необходимости думать на каждой ступеньке о том, что мы под этими знаками подразумеваем. Нет надобности разводить словесную канитель.
И лишь в конце цепочки операций мы получаем ответ, подставляя вместо значков их первоначальный смысл: предметы, расстояния, время и всякое такое. Что ни вложить в ее символы, все равно она, алгебра, перемелет, как на мельнице, все по-своему, по своим правилам. Сколько раз приходилось Булю задавать задачки ученикам: о бассейне с двумя трубами, о поездах, идущих навстречу, — и каждый раз за икс или игрек принималось другое. В разных случаях по-разному можно эти буковки толковать. Или, как говорят математики, придавать им различную интерпретацию. Важно только, чтобы подходило и чтобы первоначально обозначения имели определенный, конкретный смысл.
Булю и пришло на ум: а почему бы не истолковать алгебраические знаки как логические понятия и отношения между ними? Этакое своеобразное исчисление классов. Может быть, тогда станет легче решать и логические задачи, как облегчает алгебра решение всяких задач на вычисление. На страничках записной книжки он пробовал представить себе такую алгебру.
Да, это алгебра. Между ней и логикой поразительное сходство. Те же приемы, те же операции. Но есть и то, что отличает. Нет коэффициентов, нет степеней… Что ж, пусть это будет особая алгебра, и он, кажется, стоит на ее пороге. Гм, как же ее назвать?..
Забавной была все-таки фигура этого человека, сидящего в солнечный летний день под тенью кустарника, в светло-коричневом сюртуке, с высоким стоячим воротничком и пышным белым галстуком, повязанным на манер шарфа, с цилиндром, поставленным, как пюпитр, под записную книжку, в которую он уткнулся, забыв о прелестях природы, им же самим воспетой.
В такой позе и застал его приятель Чарльз, когда время подходило уже к тому, что надо было подумывать о возвращении.
4
Вечером, после ужина, когда они устроились при свечах в удобных кабинетных креслах, Джордж Буль выложил приятелю то, что было у него в записной книжке. Его метод алгебраической записи логических отношений. И подчинение основным законам. И, наконец, своеобразие такой алгебры без коэффициентов и степеней.
Буль говорил, все больше разжигаясь.
— Я помогу логике говорить на точном, твердом языке. Отличная дисциплина ума! Она приведет к новым открытиям. И ты знаешь, такая логика доставит немало удовольствия! — В его темном остром взгляде сверкал лихорадочный огонек.
И приятель терялся, не зная, что же сейчас перед ним говорит: дерзость ума или вдохновенное безумие?
Мысль можно передать в символах, — повторял Буль. — Знаки и буквы. И не в том главное, что понимать под буквами, а в том, чтобы найти правильные соотношения. Законы! — простирал он руку вверх. — Одни и те же формулы могут выражать разное: то обычные величины, то логические понятия — классы, а может быть, и целые предложения.
Оракул в Дельфах ни провозглашает, ни скрывает истины. Он говорит символами! — цитировал Буль нараспев из греков, — сам похожий в ту минуту на древнюю пифию.
Но тут же снова спускался на трезвую почву анализа.
— Право же, это ни на что не похоже, — проговорил наконец толстый Чарльз. — Где ты это выкопал? А что скажут сами логики?
Джордж нетерпеливо отмахнулся:
— Где было… Что скажут… Не знаю. Разве всегда надо искать примеры в прошлом? И чему они могут служить оправданием? Новый метод лучше допрашивать сам по себе: насколько он пригоден. Без оглядки на авторитеты.
Деликатный, благовоспитанный Джордж, он бывал неожиданно резок и тверд в том, что касалось его научных представлений. Он и сейчас, задетый замечанием друга, подхватил с сарказмом:
— Разумеется, я не знаток литературы по логике, особенно старой литературы. Не мне судить об оригинальности. Но я вижу спор двух знатоков. Ты знаешь, конечно, Морган и Гамильтон. Так, мне кажется, мой метод при некотором развитии мог бы оказать им кое-какую услугу. — И он потряс своей записной книжкой.
Спор Моргана и Гамильтона. Он занимал уже довольно долго внимание ученых кругов. И был, так сказать, «злобой дня», растянувшейся на годы.
Шотландский философ Гамильтон имел неосторожность высказать мнение, что в основных фигурах силлогизма Аристотеля содержится некоторая неясность по смыслу. И Гамильтон предложил свою систему уточнения. Тотчас же против него выступил английский математик Морган. А Гамильтон не преминул ответить, оснащая свою точку зрения целым аппаратом доказательств. А Морган опять выступил против, настаивая на своем. Спор разгорелся. Спор, вышедший из рамок личной переписки на страницы журналов, а из журналов — на страницы книг. Один из тех споров, которые возникали и, кажется, будут еще возникать в науке, когда оба противника переходят от аргументов к обвинениям и уже не очень хорошо помнят, из-за чего это, собственно, все началось, и когда достаточно одному сказать «да», как другой обязательно постарается ответить «нет». (Не вспомнил ли здесь Мартьянов свой давний диалог с инженером Баскиным?)
Морган — Гамильтон. Спор, пожалуй, один из самых жестоких, озлобленных и самых забавных со времен схоластов. Оба джентльмена, по собственному признанию, спорили, «как кошка с собакой». Им не хватало уже человеческих слов для убедительности, и оба подкрепляли свои доводы разными диаграммами, обозначая логические понятия и отношения то в виде клиньев, то условных двоеточий и запятых, то
