С 1943 г. работает в Математическом институте АН СССР. 20 июня 1958 г. избран членом- корреспондентом АН СССР Отделению физико-математических наук.
Основные труды И. Р. Шафаревича относятся к алгебре, теории чисел и алгебраической геометрии. Первые исследования посвятил алгебре и алгебраической теории чисел. В теории алгебраических чисел нашёл самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел, что явилось в известной мере завершающим этапом в 150-летней истории арифметических законов взаимности, восходящей к Л. Эйлеру и К. Гауссу. Внёс фундаментальный вклад в развитие теории Галуа. В 1954 г. дал решение обратной задачи теории Галуа для разрешимых групп, т. е. доказал, что в, том случае, когда основное поле является полем алгебраических чисел конечной степени, существует алгебраическое расширение этого поля с наперёд заданной разрешимой группой Галуа. И. Р. Шафаревич, Д. К. Фаддеев и их ученики получили за последние годы важные результаты, относящиеся к теории групп, теории целочисленных представлений групп и теории Галуа. В частности, совместно со своим учеником Е. С. Голодом в 1964 г. дал отрицательное решение общей (не ограниченной) гипотезы Бёрнсайда, а именно – доказал существование бесконечных периодических групп с конечным числом образующих.
Первым из советских алгебраистов начал исследования в области алгебраической геометрии и привлёк к этому своих учеников Ю. И. Манина, А. И. Кострикина, Е. С. Голода и др. Таким образом, создал научную школу в алгебраической геометрии, которая продолжает активную работу и этой отрасли. Ряд фундаментальных результатов получил в области теории полей алгебраических чисел, лежащей на стыке алгебраической геометрии и теории чисел.
Достиг важных результатов в теории диофантовых уравнений. В соавторстве с З. И. Боревичем написал книгу «Теория чисел», в которой систематизированы многие вопросы теории алгебраических чисел. Автор известной книги «Основы алгебраической геометрии». Член бюро отделения математики АН СССР с момента организации, был президентом Московского математического общества. За открытие общего закона взаимности и решение обратной задачи теории Галуа удостоен Ленинской премии (1959).
Большая часть математических работ И. Р. Шафаревича издана (в английском переводе) в собрании сочинений («Collected Papers», Springer,1989).
7 декабря 1991 г. избран академиком АН по Секции математики, механики, информатики (математика).
Игорь Ростиславович Шафаревич известен не только как признанный учёный-математик, но и как русский философ, публицист и общественный деятель. Он – автор известных работ: «Русофобия», «Две дороги к одному обрыву», «Социализм как явление мировой истории». Совместно с А. И. Солженициным участвовал в сборнике «Из-под глыб» (Москва-Париж, 1974). «Вече» (Мюнхен), 1988.
Как сообщает о себе в краткой автобиографии И. Р. Шафаревич, он «с конца 60-х годов» принимает участие в общественной деятельности: заявления и пресс-конференции в защиту Православной Церкви, против использования психиатрии как средства политических преследований (совместно с А. Д. Сахаровым). В 1974 г. участвовал вместе с А. И. Солженицыным в издании сборника «Из-под глыб» – сборника статей по вопросам духовной и общественной жизни того времени. В 1977 г. во Франции вышла его книга «Социализм как явление мировой истории», сжатое изложение основных идей которой содержалось в одной из его статей в сборнике «Из-под глыб». В 1975 г. был уволен из Университета, с тех пор не преподаёт».
«Остаюсь диссидентом…»
Своей «Русофобией» вы наделали много шума. Мнения о ней и о вас самые разноречивые. Нередко высказывается недоумение: как это вы, известный диссидент, изменили своим взглядам.
– Я не вижу каких-либо принципиальных изменений в своей позиции; скорее изменился некий широко принимаемый, стандартный комплекс взглядов, некая общая позиция, которую легко и даже полезно занимать, некая совокупность суждений, которые усваиваются главным образом через чьё-либо внушение, а не через собственный поиск. Такое явление существует в каждом обществе, в нашем – особенно, ввиду инерции тоталитарного мышления. Вот из этого стандарта я опять выпал, как выпадал и раньше, то есть остался диссидентом. Не случайно ведь один публицист обращался в КГБ с просьбой чтобы там серьёзно мной занялись.
Итак, ваша позиция осталась прежней?
– Вы знаете, читая свои работы пятнадцатилетней давности, я с сожалением отмечаю, насколько высказанные в них идеи совпадают с моими нынешними. Человек должен со временем меняться.
Как и когда возник замысел «Русофобии»?
– В семьдесят восьмом: в этом году в парижском русскоязычном журнале «Вестник русского христианского движения» вышел сборник статей, посвящённых русской истории и современности. Были в сборнике и мои статьи (правда, иного типа), в частности, «Арьергардные бои марксизма», в которой доказывалось, что государственная практика Ленина и Сталина вытекает из фундаментальных положений марксизма, а не является его «искажением»; между прочим, аналогичные взгляды – приятно отметить – высказал недавно А. Ципко. Это к слову, а главное: некоторые авторы сборника обратили внимание на сложившееся в нашей стране течение, прокламировавшее неполноценность, ущербность русского народа (его сознания, культуры и истории), и в основном на историческом, конкретном материале опровергали