перигее (чего может и не быть), то r0 = q = R + hП .
Зависимость формы орбиты ИСЗ от начальной скорости, с которой он выведен на орбиту, показана на рис. 36. Если в точке К спутнику сообщена горизонтальная скорость, равная круговой для этого расстояния от центра Земли, то он будет двигаться по круговой орбите (I). Если начальная скорость. в точке К меньше соответствующей круговой, то спутник будет двигаться по эллипсу (II), а при очень малой скорости по эллипсу (III), сильно вытянутому и пересекающему поверхность Земли; в этом случае запущенный спутник упадет на поверхность Земли, не совершив и одного оборота. Если скорость в точке К больше соответствующей круговой, но меньше соответствующей параболической, то спутник будет двигаться по эллипсу (IV). Примерное расположение эллиптической орбиты спутника в пространстве показано на рис. 37. Здесь i - наклонение орбиты спутника к экватору Земли, < - восходящий узел орбиты, > - нисходящий узел, П - перигей орбиты, А - апогей орбиты, ^ проекция точки весеннего равноденствия на земном экваторе, W - прямое восхождение восходящего узла, w - угловое расстояние перигея от восходящего узла.
Период обращения ИСЗ определяется по третьему закону Кеплера (2.23). Он равен или, если иметь в виду (2.25), Если а выражать в километрах, то при R = 6370 км и g = 981 см/сек2 период обращения спутника получится в минутах из следующей формулы: Основных причин, изменяющих орбиту ИСЗ, две: действие экваториального утолщения Земли и влияние сопротивления атмосферы Земли. Первая причина вызывает вековые возмущения восходящего узла DW и перигея Dw, которые легко учитываются по формулам небесной механики. Вторая причина вызывает уменьшение большой полуоси а, т.е. высоты h, и изменение формы орбиты. Поскольку плотность атмосферы быстро падает с высотой, основное сопротивление и уменьшение скорости спутник испытывает вблизи перигея. Вследствие этого высота апогея орбиты спутника с каждым оборотом заметно уменьшается (высота перигея уменьшается гораздо медленнее). В результате уменьшается большая полуось и эксцентриситет орбиты; орбита спутника постепенно округляется. Когда высота апогея становится сравнимой с высотой перигея, спутник испытывает торможение и теряет свою скорость вдоль почти всей орбиты, уменьшение высоты апогея и перигея происходит еще быстрее, и спутник, приближаясь по спирали к поверхности Земли, входит в плотные слои атмосферы и сгорает. Так как спутник с каждым оборотом снижается, то его потенциальная энергия уменьшается, часть ее переходит в кинетическую энергию. Это приращение кинетической энергии с избытком покрывает энергию движения, которая теряется при торможении. Поэтому скорость спутника не уменьшается, а наоборот, увеличивается, в то время как орбита уменьшается. Следовательно, по мере снижения спутника его период обращения вокруг Земли сокращается. Описанное возмущенное движение спутника дано в первом приближении. В действительности элементы орбиты спутника испытывают более сложные и разнообразные возмущения. Сжатие Земли, отличие гравитационного поля от поля сферически- симметричной притягивающей массы, вызывают не только вековые возмущения долготы восходящего узла <, и расстояния перигея от узла w. Они являются также причиной их периодических возмущений, а также эксцентриситета е (правда, весьма умеренных) и малых колебаний наклонения орбиты к экватору i. Наличие атмосферы вызывает не только вековое уменьшение большой полуоси а и эксцентриситета е. Боковое давление на спутник, создаваемое вращающей атмосферой, приводит к монотонному изменению i, знак которого определяется направлением движения спутника на орбите. Атмосфера обусловливает также малые периодические изменения < и w. Наконец, возмущающие действия Луны и Солнца вызывают малые периодические возмущения всех элементов орбиты спутника.
§ 60. Движение космических аппаратов
Траектория космического аппарата состоит из двух основных участков: активного и пассивного. Движение на активном участке определяется в основном тягой реактивных двигателей и притяжением Земли. Пассивный участок траектории начинается с момента выключения двигателя последней ступени. На пассивном участке космический аппарат движется под действием притяжения Земли и других тел Солнечной системы (Луны, Солнца, планет). При предварительном расчете космических траекторий пользуются приближенной методикой, которая заключается в следующем. Если скорость аппарата в начале пассивного участка равна (или больше) параболической скорости (2.20) относительно Земли, то, если пренебречь возмущениями, космический аппарат будет двигаться относительно Земли по параболе (или по гиперболе) до тех пор, пока он не выйдет из сферы действия Земли или не войдет в сферу действия другого небесного тела. Сферой действия какого-либо тела с массой т относительно другого тела с массой т' называется область, внутри которой выполняется условие где g и g' - гравитационные ускорения в поле тяготения тел т и т', a Dg и Dg' возмущающие ускорения соответственно со стороны т' и т. Радиус сферы действия равен где r - расстояние между телами т и m'. Например, радиус сферы действия Земли относительно Солнца - 930 000 км, а радиус сферы действия Луны относительно Земли - 66 000 км. Говорить в указанном смысле о сфере действия Солнца можно, строго говоря, лишь как об области пространства, определенной по отношению к звездам. Ниже мы для простоты будем понимать под сферой действия Солнца просто область околосолнечного пространства, за исключением сфер действия планет относительно Солнца. Войдя в сферу действия другого небесного тела, космический аппарат будет двигаться дальше под действием силы притяжения этого тела. Притяжение Земли перестанет оказывать на движение аппарата существенное влияние и будет играть роль возмущающей силы. Характер дальнейшего движения космического аппарата зависит от величины его скорости на границе сферы действия небесного тела. Если эта скорость относительно небесного тела равна нулю, то космический аппарат упадет на него. Если скорость аппарата относительно небесного тела будет больше нуля, но меньше параболической скорости, то при некоторых дополнительных условиях аппарат может стать искусственным спутником этого тела и будет обращаться вокруг него по круговой или эллиптической орбите. Наконец, если скорость космического аппарата будет равна или больше параболической скорости, то аппарат, описав относительно небесного тела отрезок параболы или гиперболы, удалится от него, а затем выйдет из его сферы действия. Таким образом, космический аппарат может упасть на поверхность любого тела Солнечной системы, может стать его искусственным спутником и может выйти из пределов Солнечной системы. В последнем случае он должен иметь на границе сферы действия Земли с Солнцем скорость, равную или большую параболической скорости относительно Солнца. Первой искусственной планетой стала советская космическая ракета, запущенная 2 января 1959 г. Для того чтобы космический аппарат преодолел притяжение Земли и ушел в космическое пространство, необходимо в начале пассивного участка сообщить ему скорость, равную или большую скорости
(2.28)
где h - линейная высота начальной точки пассивного участка. У поверхности Земли h = 0 и Скорость v2к называется второй космической скоростью относительно Земли. Параболическая скорость на высоте h меньше второй космической скорости v2к и определяется из уравнения (2.28) или по формуле Скорость космического аппарата в любой точке на пассивном участке (без учета возмущений) определяется по формуле
(2.29)
Для того чтобы космический аппарат, преодолев притяжение Земли и войдя в сферу действия Солнца, не упал на его поверхность, он должен иметь в этот момент скорость относительно Солнца, отличную от нуля. Разность гелиоцентрической скорости аппарата V (определяющей форму его орбиты относительно Солнца) и гелиоцентрической скорости Земли V3 называется дополнительной скоростью аппарата Vдоп . С этой скоростью аппарат покидает сферу действия Земли относительно Солнца. Начальная скорость космического аппарата v0 , согласно формуле (2.29), определяется из уравнения Скорость аппарата на расстоянии r = r (где r - радиус сферы действия Земли), т.е. дополнительная скорость аппарата Vдоп , согласно той же формуле (2.29) определится из уравнения Из двух последних уравнений получим Первый член в правой части, согласно формуле (2.28), равен vп2, а второй при r ® ¥ обращается в нуль. Тогда начальная скорость космического аппарата определится по формуле
(2.30)
Воспользуемся формулой (2.30) и рассчитаем, какова должна быть начальная скорость, чтобы космический аппарат, запущенный с поверхности Земли, покинул пределы Солнечной системы. В этом случае гелиоцентрическая скорость аппарата V должна быть равна параболической скорости относительно Солнца. Круговая скорость Земли относительно Солнца Vc = 29,8 км/сек (см. § 40). Параболическая скорость относительно Солнца на расстоянии Земли от Солнца равна Vп = = 42,l км/сек. Следовательно,
