Что такое диалектика?

Логический вывод осуществляется в соответствии с определенными правилами вывода. Вывод общезначим, если общезначимо правило вывода, на которое он опирается; а правило вывода общезначимо, если и только если оно никогда не приводит от истинных посылок к ложному заключению; или, другими словами, если оно безошибочно переносит истинность посылок (при условии, что они истинны) на заключение.

Нам понадобятся два таких правила вывода. Чтобы разъяснить первое и наиболее трудное, введем понятие составного высказывания (compound statement). Таковы, например, следующие высказывания: “Сократ мудр и Петр — царь”, или “Либо Сократ мудр, либо Петр — царь (но не то и другое вместе)”, или еще: “Сократ мудр и/или Петр — царь”. Два высказывания (“Сократ мудр” и “Петр — царь”), из которых состоит составное высказывание, называются составляющими высказываниями.

Нас интересует здесь одно составное высказывание, а именно — построенное таким образом, что оно истинно, если и только если истинно по крайней мере одно из двух его составляющих. Неуклюжее выражение “и/или” создает как раз такое составное высказывание: “Сократ мудр и/или Петр — царь” будет истинным, только если одно или оба составляющие его высказывания истинны; и оно будет ложным, если и только если оба его составляющие ложны.

В логике принято заменять выражение и/или символом “V” и использовать для обозначения любого выражения буквы p и q. Мы можем сказать, что высказывание формы “p V q” истинно, если истинно, по крайней мере, одно из двух составляющих p и q.

Теперь мы можем сформулировать первое правило вывода. Выразим его так:

(1) Из посылки p (например, “Сократ мудр”) с полным правом можно вывести любое заключение формы “p V q” (например: “Сократ мудр V Петр — царь”).

Мы сразу же поймем необходимую общезначимость этого правила, если вспомним о значении “V”. Этот символ создает составное высказывание, которое истинно всегда, когда истинно, по крайней мере, одно из его составляющих. Соответственно, если p истинно, то p V q тоже обязательно истинно. Таким образом, наше правило никогда не может приводить от истинной посылки к ложному заключению, а это и означает, что оно общезначимо.

При всей своей общезначимости первое правило вывода часто поражает непривычных к таким вещам людей — оно кажется им странным. И действительно, это правило редко применяется в повседневной жизни, поскольку его вывод содержит гораздо более скудную информацию, чем посылка. Однако иногда оно все же применяется, например при заключении пари. Скажем, я могу дважды подбросить монету, побившись об заклад, что орел выпадет по крайней мере один раз. Это очевидным образом равносильно поручительству за истинность составного высказывания “орел выпадет при первом подбрасывании монеты V орел выпадет при второй попытке”. Вероятность (в обычном смысле слова) такого высказывания равна 3/4; таким образом, оно отлично от высказывания “орел выпадет при первой попытке или орел выпадет при второй попытке (но не дважды)”, вероятность которого равна 1/2 Всякий признает, что я выиграл пари, если орел выпал при первом подбрасывании монеты, — иными словами, что составное высказывание, за истинность которого я поручился, должно быть истинно, если истинно первое его составляющее; это показывает, что мы рассуждали в соответствии с первым правилом вывода.

Мы можем также записать первое правило следующим образом:

что читается так: “из посылки p получаем следствие p V q”. Второе правило вывода, которым я собираюсь воспользоваться, более привычно. Если отрицание p мы обозначим как не-p, то правило можно сформулировать следующим образом:

,

или в словесной форме:

(2) Из двух посылок не-p и p V q мы получаем заключение q.

Общезначимость этого правила можно считать установленной, если принять, что высказывание не-p истинно только в том случае, когда p ложно. Соответственно, если первая посылка не-p истинна, тогда первое составляющее второй посылки ложно; следовательно, если обе посылки истинны, то второе составляющее второй посылки должно быть истинно; это означает, что q должно быть истинно всякий раз, когда обе посылки истинны.

Условливаясь, что если не-p истинно, то p должно быть ложно, мы имплицитно употребляем “закон противоречия”, утверждая, что не-p и p не могут быть истинны одновременно. Поэтому если бы моей задачей в настоящий момент было привести доводы в защиту противоречия, мы должны были бы насторожиться. Однако в данный момент я пытаюсь только показать, что, применяя общезначимые правила вывода, мы можем вывести из пары двух противоречащих посылок любое заключение.

Применяя наши два правила, мы действительно можем показать это. Допустим, имеются две противоречащие друг другу посылки, скажем:

(а) Солнце сейчас сияет.

(b) Солнце сейчас не сияет.

Из этих двух посылок можно вывести любое высказывание, например, “Цезарь был предателем”.

Из посылки (а) мы можем вывести, согласно правилу (1), следующее заключение:

(c) Солнце сейчас сияет V Цезарь был предателем. Взяв теперь в качестве посылок (b) и (с), мы можем в конечном счете вывести, согласно правилу (2):

(d) Цезарь был предателем.

Ясно, что с помощью того же метода мы могли бы вывести и любое другое высказывание, например, “Цезарь не был предателем”. Так что из “2 + 2 = 5” и “2 + 2 не= 5” мы можем вывести не только то высказывание, какое бы нам хотелось, но также и его отрицание, которое могло и не входить в наши планы.

Отсюда мы видим, что если теория содержит противоречие, то из нее вытекает все на свете, а значит, не вытекает ничего. Теория, которая добавляет ко всякой утверждаемой в ней информации также и отрицание этой информации, не может дать нам вообще никакой информации. Поэтому теория, которая заключает в себе противоречие, совершенно бесполезна в качестве теории.

Ввиду важности проанализированной нами логической ситуации, я представлю теперь несколько других правил вывода, которые приводят к тому же результату. В отличие от (1), те правила, которые мы сейчас рассмотрим, составляют часть классической теории силлогизма, за исключением правила (3), которое мы обсудим первым.

Из любых двух посылок p и q можно вывести заключение, которое тождественно одной из них — скажем, p схематически:

Несмотря на всю непривычность этого правила и на то, что его не признают некоторые философу[7], это правило несомненно общезначимо: ведь оно безошибочно приводит к истинному заключению всегда, когда истинны его посылки. Это очевидно и действительно тривиально; и сама тривиальность делает это правило, в обычном рассуждении, избыточным, а потому и непривычным. Однако избыточность не есть несостоятельность.

В дополнение к правилу (3), нам понадобится еще одно правило, которое я назвал “правилом косвенной редукции” (поскольку в классической теории силлогизма оно имплицитно используется для косвенного сведения “несовершенных” фигур к первой, или “совершенной”, фигуре). Предположим, имеется общезначимый силлогизм:

(а) Все люди смертны.