— Не понимаю, — сказал я.
— Чего не понимаешь? — спросил капитан.
— Не понимаю двух вещей. Во-первых, где здесь щель?
— Ну это просто! Щель в этом случае — расстояние между Ахиллесом и черепахой, которое всё время уменьшается, но никогда не исчезнет.
— А это как раз то, — подхватил я, — чего я не понимаю во-вторых.
— И очень хорошо, что не понимаешь, — сказал капитан. — Потому что Зенон допустил в своих рассуждениях логическую ошибку, которая привела его к неверному выводу.
Если отрезок в 100 метров Ахиллес пробегает, скажем, за 10 секунд, то за 20 секунд он пробежит вдвое больше — целых 200 метров. Черепаха же за 20 секунд одолеет только 20 метров и останется на целых 80 метров позади Ахиллеса.
Я сказал, что 20 метров за 20 секунд для черепахи слишком много: черепахи так быстро не бегают.
— Так то черепахи настоящие, — возразил капитан, — а это — условная. Черепаха, которую выдумал мудрец Зенон.
— Хорош мудрец, нечего сказать! Надо же так ошибиться… Капитан задумчиво погладил бороду.
— Не торопись с выводами, юнга. Зенон, конечно, ошибся. Но он был первым учёным, который представил себе бесконечно малую величину — то есть такую величину, которая всё время стремится к нулю, но никогда её не достигнет. Вот и выходит, что Зенон как бы предвидел появление в науке того самого понятия, которое много веков спустя, в XVII столетии, почти одновременно открыли два великих человека: англичанин Исаак Ньютон и немец Готфрид Вильгельм Лейбниц. А ведь это открытие означало целый переворот в математике! С помощью бесконечно малых величин учёным удалось решить многие до тех пор нерешённые задачи. А главное, с этих пор применение математики в практической жизни значительно расширилось. Кстати, изучение бесконечно малых величин доныне остаётся одним из главных вопросов, которыми занимается современная наука.
— Выходит, ошибки тоже иногда бывают полезными! — сказал я.
— Ещё как! — подтвердил капитан.
ТВЁРДАЯ ПОЧВА
Идём в сплошном тумане. Ни островка, ни бухты, ни гавани… Я совсем загрустил и сказал, что соскучился по твёрдой почве.
— Вот как! — прищурился капитан. — Но разве наш Фрегат не стоит на твёрдой почве?
Ну и шутник! Мы с коком расхохотались. Но оказалось, что капитан вовсе не шутит.
— Разве математика не та твёрдая почва, на которой развиваются самые разнообразные науки? — спросил он. — Начать с того, что математика возникла как подспорье для астрономии. А астрономия — самая древняя и самая необходимая людям наука.
— Почему самая необходимая? — возмутился я. — Ведь астрономия изучает небесные тела, а люди-то живут на Земле.
— Но Земля — тоже небесное тело, — отвечал капитан, — стало быть, между ней и другими небесными телами существует взаимосвязь. Это-то и понял в глубокой древности человек, когда научился сопоставлять разные явления. Он увидел, что многое, происходящее на Земле, в окружающей его природе, связано с тем, что происходит на небе, — с движением Солнца, например. Человек заметил, что Солнце появляется всегда с одной стороны неба, а уходит в другую. В зависимости от этого на Земле становится то светло, то темно. По Солнцу человек научился отмерять сутки, отделять день от ночи. Точно так же по движению Солнца среди звёзд человек разделил свою жизнь на годы и месяцы. Звёзды помогали ему определять, когда следует ожидать разлива рек, когда начинать сев. Они не давали ему заблудиться в открытом море. Вот почему я сказал, что астрономия в далёкие времена была самой жизненно необходимой наукой. Но астрономия никогда не могла бы существовать без математики. Так же, впрочем, как и другие науки. Постепенно математика проникала в самые разнообразные отрасли человеческой деятельности и знаний. Без неё невозможно было бы ни землемерие, ни судостроение, ни торговля. А в наше время без математики не обходится решительно ни одна наука. Физика, химия, медицина, агрономия, философия, политическая экономия…
— Статистика, — вставил я.
— Совершенно верно, и статистика. Все они немыслимы без математики. Словом, — закончил капитан, — теперь вы, надеюсь, согласны, что математика — поистине твёрдая почва любой науки, а стало быть, всей нашей жизни.
ДВЕ ГОРОШИНЫ
Второй день не видно земли.
Вода, вода, вода…
Капитан решил продолжить наш вчерашний разговор.
— Мы с вами выяснили, — начал он, — что без математики в наше время никак не обойтись. А вот что нужно для того, чтобы уметь ею пользоваться?
— Знать таблицу умножения! — выпалил я.
— Ну, этого ещё мало, — покачал головой капитан. — Знать надо многое. Но самое главное — нужно уметь мыслить. И не вообще, а математически. Чтобы вы меня поняли, предложу вам одну задачу. Представьте себе маленький шарик — ну, хоть горошину, которую мы опоясали кусочком нитки по экватору. Снимем этот экватор с горошины, выпрямим и удлиним другой ниткой на один метр. Теперь уложим эту удлинённую нитку на столе так, чтобы она образовала окружность, а горошину поместим в центре окружности. Измерим зазор между ними. Можете верить мне на слово, что он равен примерно 16 сантиметрам. А теперь тот же опыт проделаем с земным шаром.
— Ого-го-го! — воскликнул Пи. — Земля — не горошина!
— А воображение на что? — спросил капитан. — Итак, мысленно снимем с Земли экватор, распрямим его. Получится ниточка длиной этак в 40 миллионов метров. Удлиним и её на один метр.
— Всего-навсего на один?
— Вот именно. Соединим концы удлинённого на один метр экватора, снова придадим ему форму окружности и наденем эту окружность на земной шар. Нам придётся её придерживать, чтобы не свалилась, потому что между экватором и земным шаром появится зазор. Как вы думаете, какой он будет величины?
— Наверное, его и в микроскоп не разглядишь, — предположил я. — Что такое один метр по сравнению с сорока миллионами!
— Вот и видно, что математически ты ещё мыслить не умеешь, — сказал Единица. — Расстояние между новым, удлинённым, и прежним экватором Земли будет то же самое: около 16 сантиметров.
У меня от изумления глаза на лоб полезли.
— Чем зря таращиться, вспомни лучше, каково отношение длины любой окружности к её диаметру или радиусу, — посоветовал капитан.
Мы попросили его высказаться подробнее, но он стоял на том, что эту задачу мы должны решить сами. А чтобы мы не запутались в миллионах, посоветовал проверить её на шаре с диаметром в 100
