Квантовая магия

позиции), а подсистема B — в состоянии 1.

Если система замкнута (чистое состояние), то мы можем записать для нее вектор состояния, например, в стандартном базисе:

|?n = a|00n + b|01n + c|10n + d|11n, (3.1)

где a, b, c, d — в общем случае комплексные числа (амплитуды) и выполняется условие нормировки |a|² + |b| ² + |c|² + |d|² = 1.

Вектор состояния (3.1) описывает все возможные состояния системы, и их бесконечное число, поскольку амплитуды заданы на множестве комплексных чисел. То есть a, b, c, d могут быть любыми числами (удовлетворяющими условию нормировки), как вещественными, так и комплексными, и таких чисел бесконечно много.

Матрица плотности для чистого состояния записывается как проектор |?na?| (вектор-столбец (3.1) нужно умножить на комплексно сопряженную строку). Это матрица 4 ? 4 и по диагонали в ней стоят | a|², |b|², | c|², |d|² — это вероятности нахождения системы в каждом из четырех возможных собственных состояний |00n, |01n, |10n, |11n соответственно. Сумма вероятностей этих состояний (след матрицы плотности) равна 1 (условие нормировки). Недиагональные элементы характеризуют корреляции (взаимодействия) между четырьмя различными состояниями системы, в них содержится информация о градиентах энергии, возникающих в ней.

Состояние (3.1) может быть максимально запутанным, например, одно из них:

. (3.2)

Матрица плотности в этом случае равна:

. (3.3)

То есть система с равной вероятностью 1/2

находится

в состояниях | 00n и |11n («кот ни жив, ни мертв») — это диагональные элементы. И корреляции между этими состояниями максимальны (недиагональные элементы). Мы видим, что недиагональные элементы равны друг другу и расположены симметрично, как и должно быть для любой матрицы плотности.

При измерении этого нелокального состояния (при декогеренции) мы получим одно из двух классических локальных (сепарабельных) состояний |00n или |11n с равной вероятностью.

Существует простой способ проверить, относится ли какая-либо матрица плотности к чистому состоянию или нет. Если умножить матрицу саму на себя, и она при этом не изменится (получится та же самая матрица), то есть если выполняется равенство ?² =

?

, то можно сразу сказать, что данная матрица плотности описывает чистое состояние, и для него может быть записан вектор состояния. Такие матрицы, которые не меняются при умножении самой на себя, называются идемпотентными. Таким образом, любая матрица плотности чистого состояния — идемпотентная.

Если система незамкнутая (открытая), то это смешанное состояние, и тогда она не описывается вектором состояния, но ее по-прежнему можно описать матрицей плотности. Например, максимально смешанное состояние:

. (3.4)

Его уже нельзя записать в виде вектора состояния (3.1). В этом случае нет корреляций между состояниями |00n|01n|10n|11n, и при измерении можно получить любое из этих состояний с равной вероятностью 1/4.

Замечу, что матрица плотности такого вида получается, если мы хотим описать состояние одной из подсистем, например

А

, в случае максимально запутанного состояния типа (3.2). Так, если мы возьмем частичный след по подсистеме B и получим частичную матрицу плотности размерностью 2 ? 2, которая описывает подсистему

А

, то эта матрица плотности будет соответствовать максимально смешанному состоянию и иметь вид:

. (3.5)

Подсистема

А

с равной вероятностью 1/2 может находиться в состоянии |0n или |1n.

Нужно еще иметь в виду, что, когда мы говорим «состояние системы», то смысл этого выражения обычно зависит от контекста. Речь может идти о состоянии, полученном в результате измерения (декогеренции), то есть об одном из реализованных собственных состояний системы (об одном из диагональных состояний матрицы плотности). Или имеется в виду исходное состояние, то есть сам вектор состояния (вся матрица плотности), тогда по ее структуре можно судить о квантовой запутанности и о корреляциях (в частности, о градиентах энергии). В простых случаях, например, для матрицы плотности типа (3.3) (когда 1/2 стоят по четырем углам, а остальные нули), сразу можно сказать, что это максимально запутанное cat-состояние.

Понятие матрицы плотности исключительно важно в квантовой теории. Только в терминах матриц плотности можно рассматривать части взаимодействующей системы. Рассуждать об «

ЭПР-парадоксе

» в терминах пси-функции вообще не имеет смысла. Матрица плотности содержит информацию двоякого рода: во-первых — о корреляциях между частями самой системы; во-вторых — о корреляциях системы с окружением (которых может и не быть в случае чистого состояния). Речь идет, прежде всего, о нелокальных корреляциях, поскольку классические корреляции (сепарабельные состояния) и раньше с успехом описывались теми же пси-функциями. Но только на основе матриц плотности стало возможным описание квантовых корреляций (несепарабельных состояний). Только с их помощью квантовая теория стала по-настоящему квантовой, способной охватить ее основную специфику, отличающ

ую ее о

т классической физики — несепарабельные (запутанные) состояния.

На основе матриц плотности стало возможным ввести количественные характеристики квантовой запутанности, и этот момент, как я считаю, стал поворотным для квантовой теории. По своей значимости данное событие стоит в ряду самых выдающихся достижений не только квантовой механики, но и всей науки в целом. Появилась возможность количественно описывать новую, неизведанную сферу реальности. Я бы сравнил этот момент с отрывом науки от грешной земли и ее выходом в безбрежный «космос», в «царство небесное» нелокальных состояний.

3.2. Количественное описание квантовых корреляций

Мера квантовой запутанности — это количественная характеристика несепарабельности, числовое