Всё о метрологии

близким к нормальному. Тогда, заменяя дисперсию σ²_X ее точечной оценкой [см. п. 4.4. Нормальное распределение], можно для оценки доверительной границы погрешности результата воспользоваться равенством (35). Число наблюдений n, при котором это становится возможным, зависит, конечно, от распределения случайных погрешностей.

Соотношения (38) показывают, что итог измерения не есть одно определенное число. В результате измерений мы получаем лишь полосу значений измеряемой величины. Смысл итога измерений, например, L=20.00±0.05 заключается не в том, что L = 20.00, как для простоты считают, а в том, что истинное значение лежит где-то в границах от 19.95 до 20.05. К тому же нахождение внутри границ имеет некоторую вероятность, меньшую, чем единица, и, следовательно, нахождение вне границ не исключено, хотя и может быть очень маловероятным.

Теперь найдем доверительные интервалы для дисперсии и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Если распределение результатов наблюдений нормально, то отношение

   (43)

имеет так называемое χ²-распределение Пирсона с k=n–1 степенями свободы. Его дифференциальная функция распределения описывается формулой

   (44)

Кривые плотности χ²-распределения при различных значениях k, вычисленные по формуле (44), представлены на рис. 9.

Значения χ²_kp, соответствующие различным вероятностям Р того, что отношение (43) в данном опыте будет меньше χ²_kp, представлены в табл. П.6 приложения для различных вероятностей Р и чисел k степеней свободы.

Пользуясь этой таблицей, можно найти доверительный интервал для оценки дисперсии результатов наблюдений при заданной доверительной вероятности. Этот интервал строится таким образом, чтобы вероятность выхода дисперсии за его границы не превышала некоторой малой величины q, причем вероятности выхода за обе границы интервала были бы равны между собой и составляли соответственно q/2 (рис.10).

Границы χ²_k,0.5q и χ²_k,1–0.5q такого доверительного интервала находят из равенства

F(χ²_k,0.5q) = 0.5q, F (χ²_k,1-0.5q) = 1-0.5q  (45)

Теперь, зная границы доверительного интервала для отношения χ²_kp, запишем доверительный интервал для дисперсии:

   (46)

Полученное равенство означает, что с вероятностью α=1-q истинное значение σ_X среднеквадратического отклонения результатов наблюдений лежит в интервале (], границы которого равны

   (47)

Пример. Даны результаты двадцати измерений длины l_i мм детали (табл.3).

Таблица 3

18.305	18.306	18.306	18.309
18.308	18.309	18.313	18.308
18.312	18.310	18.305	18.307
18.309	18.303	18.307	18.309
18.304	18.308	18.308	18.310

В качестве оценки математического ожидания длины детали принимаем ее среднее арифметическое

   мм.

Точечная оценка среднеквадратического отклонения результатов наблюдений составляет:

  мм.

Приняв уровень доверительной вероятности α=1-q=0.90, находим для числа степеней свободы k = n–1 = 20–1 = 19 в табл. П.6 приложения:

χ²_k,0.5q = χ²_19,0.05 = 10.117, χ_19,0.05 = 3.18,

χ²_k,1-0.5q = χ²_19,0.95 = 30.144, χ_19,0.95 = 5.49.

Границы доверительного интервала для среднеквадратического отклонения результатов наблюдений находим по формуле (47):

 

Полученные результаты говорят о том, что истинное значение среднеквадратического отклонения результатов наблюдений с вероятностью 0.90 лежит в интервале 0.0020–0.0034 мм.

В табл. П.6 приведены значения χ²_k только при числах степеней свободы от 1 до 30. При k>30 можно пользоваться