Число и культура

данное членение было предварено делением реальности на физический мир, органический и надорганический (культура, социальность) или не менее распространенным смежным кластером природа – общество – Бог.

К антропографической тематике следует отнести и концепцию К.Ясперса [404] о трех различных уровнях человеческого Я. Первый уровень – это Я эмпирическое, которое имели в виду, например, Гоббс и французские материалисты, т.е. тело, предмет изучения биологии и психологии. Наряду с этим, человек может быть описан и как 'сознание вообще' (такому взгляду отдавала предпочтение рационалистическая философия Нового времени). В роли 'сознания вообще' человеческое Я отрывается от своего эмпирического определения, от природы, игнорируя также различие между разными Я. Следуя неокантианцам, Ясперс называет второй уровень Я предметным сознанием, в котором дано общезначимое предметное знание в категориях. Если эмпирическое Я действительно и существует во времени, то второе, трансцендентальное Я – лишь значимо, а не действительно, оно вневременно. 'Сознание вообще' явно походит на рассудок немецкого идеализма и, вслед за Кантом, Фихте, Гегелем, подвергается критике за ограниченность. Поэтому Ясперс приводит и третий, более высокий уровень Я – разум, или дух, который сопряжен с 'целостностью мышления, деятельности, чувства'. Приведенная схема, очевидно, не очень далеко ушла от прежних трихотомий. Если потребуется, читатель сам справится с ее анализом.

Вместе с внедрением регулярного оппозиционного мышления в разных областях культуры, не исключая самой математики, неизменно происходило образование троек логических единиц. Возьмем такую знакомую вещь как сравнение величин. Говоря 'пять больше, чем два', мы осуществляем простейшую бинарную операцию, в подобных утверждениях всегда фигурируют пары величин, n = 2. Сколько всего типов таких отношений должно существовать? – В этом 'всего' заранее инсталлированы качества полноты и замкнутости. Связность также обеспечена, т.к. разные виды отношений не изолированы друг от друга, составляя логически компактный пакет. Разновидностей в результате оказывается три: больше, меньше, равно. Читатель, вероятно, обратит внимание на то, что в данном примере функцию элементов приняли на себя отношения (отношения сравнения), но это не собьет нас с толку, ибо в системах S количества элементов и отношений совпадают, см. условие (1). С отношениями больше-меньше-равно мы по сути встречались применительно к времени: раньше-позже-одновременно.

Формирование тройственности холистических структур, коль скоро конституированы бинарные отношения, требовало порой веков и тысячелетий. Личные и коллективные драмы, подлинные революции духа сопровождали этот процесс, и не надо думать, что все было гладко у самих математиков. Об одной истории утверждения тройственности, вероятно, стоит рассказать.

О том, что существуют целые и дробные числа, знали еще до первых цивилизаций Египта и Междуречья. Свойства названных чисел продолжали выяснять и впоследствии (так, Фалес доказал бесконечность натурального ряда, Эвклид – неограниченность ряда чисел простых, от эпохи к эпохе совершенствовались приемы обращения с правильными и неправильными дробями и т.д.). Вплоть до античности люди не без оснований думали: помимо натуральных и дробных чисел, никаких других нет. Эти числа были привычны, их происхождение освящено мифологическими авторитетами вроде Прометея, Гермеса, они удовлетворяли потребностям практики: с их помощью можно выразить любую величину (длину палки, площадь участка земли, размер урожая…). Причем, как выражаются сейчас, с любой – сколь угодно высокой – степенью точности, тогда же без затей предполагали: точно. Феноменальные достижения раннегреческой математики, впервые открывшей строгое доказательство как таковое (об этом много написано, см., напр., [142] или [128]), не просто двигались истинным вдохновением, но и сопровождались подлинным апофеозом числа, способного, казалось, взять любые преграды. Пифагорейцы утверждали: 'Числа правят миром', – и построили на этом полуфилософию-полурелигию.

Какой же должна была быть их реакция, когда греческий математик Гиппазий, взяв прямоугольный треугольник с двумя катетами размером по единице (простейший объект для теоремы самого Пифагора) очень изящно и совершенно строго доказал, что длина гипотенузы этого треугольника не выражается никаким – ни целым, ни дробным – числом? Предположение о представимости такого числа (теперь мы записываем его как v2 ) в виде дроби приводило к логическому противоречию, что равносильно для математиков смертному приговору. Гипотенуза есть, она предъявлена, но ее длину невозможно записать 'никаким' числом. Имеют ли тогда числа право претендовать на управление целым миром, если им не удается справиться даже с простейшею ситуацией? Нетрудно представить чувства, охватившие пифагорейцев и других математиков, шок – вероятно, слишком мягко. Никакие усилия не помогали найти выход из положения и спасти репутацию.

Потрясение оказалось настолько глубоким, что побудило пифагорейцев вообще отказаться от чисто арифметического способа рассуждений, впредь ограничиваясь наглядной геометрией и даже алгебраические по характеру задачи решая геометрическим способом (так называемая геометрическая алгебра).(12) Остальные математики также постарались подальше отойти от места крушения колосса и в дальнейшем огибать опасную зону на почтительном расстоянии. Любопытный и по-своему знаменательный исторический факт: на протяжении двух тысячелетий математики знали о доказательстве Гиппазия, но предпочитали о нем поменьше упоминать, спасаясь солидарным полуумолчанием от 'парадокса'.

Помимо v2, было найдено немало других чисел с аналогичными свойствами – v3, v5 и т.д.,(13) – доказательства строились по уже известному алгоритму. Лишь в Возрождение – в обстановке крушения авторитетов, традиций, в эпоху великих открытий, в контексте принципиально новых математических задач (собственно алгебраических) и методов их решения – был не только чрезвычайно расширен класс таких чисел, но и с ними научились подобающим образом обходиться. Впрочем, название, ставшее термином, сохранило печать былых драм: числа иррациональные, явный оксюморон (как может число противоречить разуму?).

Как бы там ни было, человек узнал о существовании двух классов чисел: рациональных и иррациональных. В их отношении между собой выступает операция сравнения, но уже не по величине, как раньше (больше-меньше), а по признаку соизмеримости, т.е. наличия или отсутствия общей меры. Всякий раз таким образом сопоставляется пара чисел, пара классов, т.е. данное отношение – бинарно, n = 2. На этом история не закончилась.

Развитие математики и механики выявило особую роль такого часто встречающегося числа как ?, затем открыли другое замечательное число, получившее обозначение e (одна из важнейших постоянных математического анализа).(14) В конце ХVIII в. И.Ламберт и А.Лежандр доказали, что число ? не может быть рациональным, а во второй половине ХIХ в. выяснилось, что ? и e не только иррациональные, но и трансцендентные. Существование класса трансцендентных чисел как таковых впервые установил французский математик Ж.Лиувилль в 1844 г., теорему о трансцендентности числа ? доказал Ф.Линдеман в 1882 г., аналогичную теорему о числе e – Ш.Эрмит в 1873 г.

Вообще в данный период – в канун и вместе с европейскими революциями 1848 г. – в математике происходит много ярких событий, так или иначе имеющих отношение к теме книги, что, возможно, не удивительно: начиналась подлинная революция в математике, предварившая великие потрясения и открытия конца ХIХ – начала ХХ вв. в физике, философии, искусстве, политике и др. Но об этом речь впереди, а в настоящем контексте упомянем немецкого ученого Р.Дедекинда, обосновавшего теорию действительных чисел и предложившего строгий аксиоматический метод введения чисел иррациональных (так называемые дедекиндовы сечения). Однако сейчас нас интересуют числа трансцендентные.

Что они собой представляют? По определению – это те, которые не могут быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами, т.е. числа неалгебраические, что навряд ли много скажет нематематику. Противопоставление классов алгебраических и неалгебраических (трансцендентных) чисел, тем не менее, исключительно важно, поскольку с алгеброй принято связывать саму нашу логику. Впоследствии такие логики и были формализованы в алгебраическом виде (математическая логика). В таком случае, быть числом неалгебраическим как бы означает 'быть нелогичным', что, собственно, и запечатлелось в названии: трансцендентные (снова, и еще более сильный, оксюморон: казалось бы, что 'потустороннего' может быть в длине окружности? Но математики знают, о чем говорят).

Пропасть между алгебраическими и трансцендентными числами подчеркивается теорией множеств, ставшей еще одним достижением ХIХ в., особенно второй половины – Б.Больцано, Г.Кантор, Р.Дедекинд. Хотя алгебраических чисел – рациональных и иррациональных – существует бесконечное количество, но их множество, как выражаются, счетно. Это означает, что все такие числа – не на практике, конечно, а в принципе – можно пронумеровать, т.е. их 'столько же', сколько чисел в